Seja X uma variável aleatória contínua com f.d.p. dada por:
f(x)=\frac{1}{2} I_{[1,3]}
Encontre a distribuição das seguintes funções de X :
Y=e^{X}.

Passo 1

O enunciado dá uma variável aleatória contínua X com densidade
f_X(x)=\frac{1}{2} I_{[1,3]}(x),
ou seja, f_X(x)=\frac{1}{2} para x\in[1,3] e f_X(x)=0 fora desse intervalo. A tarefa é encontrar a distribuição da variável transformada
Y = e^{X}.
As informações relevantes que temos são: o suporte de X é [1,3] e a densidade é constante igual a \tfrac{1}{2} nesse suporte. O que precisamos fornecer é a distribuição de Y — tipicamente o CDF F_Y(y)=P(Y\le y) e a densidade f_Y(y).

Passo 2

Primeiro vamos achar o suporte (intervalo de valores possíveis) de Y. Como Y=e^{X} e a função exponencial é estritamente crescente,
\text{mínimo de }Y = e^{1}=e,\qquad \text{máximo de }Y = e^{3}.íá
Logo Y toma valores em [e,e^{3}]. Fora desse intervalo a probabilidade é zero.

Passo 3

Vamos usar o método do CDF (função de distribuição acumulada) porque é direto para transformações monotônicas: para y qualquer,
F_Y(y)=P(Y\le y)=P(e^{X}\le y).
Como a exponencial é crescente, a desigualdade e^{X}\le y é equivalente a X\le \ln y. Portanto
F_Y(y)=P(X\le \ln y).
Mas atenção: essa igualdade só faz sentido quando \ln y está no domínio relevante; usaremos isso explicitamente ao seguir.

Passo 4

Agora avaliamos F_Y(y) em três faixas de y:
  • Se y<e então \ln y<1 e, como X\ge 1 sempre, temos P(X\le \ln y)=0. Logo F_Y(y)=0 para y<e.
  • Se y>e^{3} então \ln y>3 e P(X\le \ln y)=1 porque X\le3 sempre. Logo F_Y(y)=1 para y>e^{3}.
  • Para y\in[e,e^{3}] temos \ln y\in[1,3]. Então usamos a CDF de X. Como X tem densidade constante \tfrac{1}{2} em [1,3], sua CDF para x\in[1,3] é
F_X(x)=\int_{1}^{x}\frac{1}{2}\,dt=\frac{1}{2}(x-1).
Substituindo x=\ln y obtemos, para y\in[e,e^{3}],
F_Y(y)=F_X(\ln y)=\frac{1}{2}\bigl(\ln y - 1\bigr).

Passo 5

Resumindo o CDF de Y:
F_Y(y)= \begin{cases} 0, & y<e,\\[4pt] \displaystyle \frac{1}{2}\bigl(\ln y - 1\bigr), & y\in[e,e^{3}],\\[6pt] 1, & y>e^{3}. \end{cases}]

Passo 6

Para obter a densidade f_Y(y) derivamos F_Y(y) no trecho interno y\in(e,e^{3}). Diferenciando:
f_Y(y)=\frac{d}{dy}F_Y(y)=\frac{d}{dy}\left[\frac{1}{2}\bigl(\ln y -1\bigr)\right]=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{y}=\frac{1}{2y},
para y\in(e,e^{3}). Fora desse intervalo a densidade é zero.

Passo 7

Uma forma alternativa (útil para provas) é usar a fórmula da mudança de variável para densidades quando a transformação é monotônica e diferenciável: se Y=g(X) com g estritamente crescente e invertível, então
f_Y(y)=f_X\bigl(g^{-1}(y)\bigr)\left|\frac{d}{dy}g^{-1}(y)\right|.
Aqui g(x)=e^{x} tem inversa g^{-1}(y)=\ln y e \frac{d}{dy}\ln y=\tfrac{1}{y}. Substituindo f_X(\ln y)=\tfrac{1}{2} para \ln y\in[1,3] (ou seja y\in[e,e^{3}]) obtemos novamente
f_Y(y)=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{y}=\frac{1}{2y},\qquad y\in[e,e^{3}].
Também podemos checar que a densidade normaliza: \int_{e}^{e^{3}}\frac{1}{2y}\,dy=\frac{1}{2}[\ln y]_{e}^{e^{3}}=\frac{1}{2}(3-1)=1.

Passo 8

Exemplo rápido de uso: para calcular P(Y\le e^{2}) usamos o CDF e obtemos
F_Y(e^{2})=\frac{1}{2}(\ln e^{2}-1)=\frac{1}{2}(2-1)=\frac{1}{2}.
Isso faz sentido: e^{2} corresponde a x=2, que é o ponto médio do intervalo [1,3] para X com densidade uniforme, então a probabilidade acumulada é 1/2.

Resposta

F_Y(y)= \begin{cases} 0, & y<e,\\[4pt] \displaystyle \frac{1}{2}\bigl(\ln y - 1\bigr), & y\in[e,e^{3}],\\[6pt] 1, & y>e^{3}, \end{cases}
f_Y(y)= \begin{cases} \displaystyle \frac{1}{2y}, & y\in(e,e^{3}),\\[6pt] 0, & \text{caso contrário.} \end{cases}á]

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