Seja X\) uma variável aleatória discreta com função de probabilidade dada por \[f(x)= \begin{cases}\binom{n}{x} p^{x}(1-p)^{n-x}, & x=0,1, \cdots \\\\ 0, & \text { caso contrári }\end{cases}
Assumindo p=0.3\] e \(n=5, pede-se:
Calcule p_{1}=P(X>2),
\begin{aligned} & p_{2}=P(X \leq 4) \text { e } p_{3}=P(3<X \leq 5) \end{aligned}
(resp: p_{1}=0.16308 ; p_{2}=0.99757
p_{3}=0.03078 )

Passo 1

O enunciado dá a variável aleatória discreta X\) com função de probabilidade \[f(x)=\begin{cases}\binom{n}{x} p^{x}(1-p)^{n-x}, & x=0,1,\ldots,n,\\[4pt]0, & \text{caso contrário.}\end{cases}
e especifica os valores \;p=0{,}3\;\] e \(\;n=5\;.
As perguntas são:
\begin{aligned} & p_{1}=P(X>2),\\\ & p_{2}=P(X\leq 4),\\\ & p_{3}=P(3<X\leq 5). \end{aligned}
Informações importantes fornecidas: \;X tem distribuição binomial com parâmetros \;n=5 e \;p=0{,}3, então os possíveis valores de X são \;0,1,2,3,4,5.]

Passo 2

Breve aula/conceito prático que precisamos usar (binomial):
P(X=x)=\binom{n}{x}p^{x}(1-p)^{\,n-x}.
O que cada símbolo significa:
\;n é o número de ensaios ( \;n=5); \;p é a probabilidade de “sucesso” em cada ensaio ( \;p=0{,}3); \;x é o número de sucessos observados.
A notação \displaystyle \binom{n}{x} (coeficiente binomial) conta de quantas formas diferentes podemos escolher \;x sucessos entre \;n ensaios; a fórmula é
\binom{n}{x}=\frac{n!}{x!(n-x)!}.
Também vale a propriedade útil (regra do complemento): para qualquer evento A,
P(A)=1-P(A^c).
No nosso caso isso permite, por exemplo, calcular P(X\leq 4) como 1-P(X=5) quando for conveniente.

Passo 3

Calculamos as probabilidades pontuais P(X=x) para \;x=0,1,\dots,5, usando \;p=0{,}3 e \;1-p=0{,}7.
Calculemos potências úteis primeiro:
0{,}7^{5}=0{,}16807,\quad 0{,}7^{4}=0{,}2401,\quad 0{,}7^{3}=0{,}343,\quad 0{,}7^{2}=0{,}49,\quad 0{,}7^{1}=0{,}7.
0{,}3^{1}=0{,}3,\quad 0{,}3^{2}=0{,}09,\quad 0{,}3^{3}=0{,}027,\quad 0{,}3^{4}=0{,}0081,\quad 0{,}3^{5}=0{,}00243.
Agora as probabilidades ponto a ponto:
Para \;x=0:
P(X=0)=\binom{5}{0}0{,}3^{0}0{,}7^{5}=1\cdot1\cdot0{,}16807=0{,}16807.
Para \;x=1:
P(X=1)=\binom{5}{1}0{,}3^{1}0{,}7^{4}=5\cdot0{,}3\cdot0{,}2401.
Calculemos: 0{,}3\cdot0{,}2401=0{,}07203. Multiplicando por 5
P(X=1)=0{,}36015.
Para \;x=2:
P(X=2)=\binom{5}{2}0{,}3^{2}0{,}7^{3}=10\cdot0{,}09\cdot0{,}343.
Calculemos: 0{,}09\cdot0{,}343=0{,}03087. Multiplicando por 10
P(X=2)=0{,}30870.
Para \;x=3:
P(X=3)=\binom{5}{3}0{,}3^{3}0{,}7^{2}=10\cdot0{,}027\cdot0{,}49.
Calculemos: 0{,}027\cdot0{,}49=0{,}01323. Multiplicando por 10
P(X=3)=0{,}13230.
Para \;x=4:
P(X=4)=\binom{5}{4}0{,}3^{4}0{,}7^{1}=5\cdot0{,}0081\cdot0{,}7.
Calculemos: 0{,}0081\cdot0{,}7=0{,}00567. Multiplicando por 5
P(X=4)=0{,}02835.
Para \;x=5:
P(X=5)=\binom{5}{5}0{,}3^{5}0{,}7^{0}=1\cdot0{,}00243\cdot1=0{,}00243.
Confirmação rápida (soma das probabilidades = 1):
0{,}16807+0{,}36015+0{,}30870+0{,}13230+0{,}02835+0{,}00243=1{,}00000.

Passo 4

Cálculo de p_{1}=P(X>2). Isso significa somar as probabilidades para X=3,4,5:
\begin{aligned} p_{1}&=P(X=3)+P(X=4)+P(X=5)\\[4pt] &=0{,}13230+0{,}02835+0{,}00243\\[4pt] &=0{,}16308. \end{aligned}]

Passo 5

Cálculo de p_{2}=P(X\leq 4). Aqui usamos a regra do complemento ou somamos diretamente. Pelo complemento:
p_{2}=1-P(X=5)=1-0{,}00243=0{,}99757.
(Se preferir somar: p_{2}=P(X=0)+\cdots+P(X=4)=0{,}16807+0{,}36015+0{,}30870+0{,}13230+0{,}02835=0{,}99757.)

Passo 6

Cálculo de p_{3}=P(3<X\leq 5). A desigualdade 3<X\leq 5 significa X=4 ou X=5:
\begin{aligned} p_{3}&=P(X=4)+P(X=5)\\[4pt] &=0{,}02835+0{,}00243\\[4pt] &=0{,}03078. \end{aligned}]

Resposta

p_{1}=0{,}16308\n p_{2}=0{,}99757\n p_{3}=0{,}03078

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