Considere a variável aleatória discreta X com função de probabilidade dada por:
x
0
1
2
f(x)
1 / 4
1 / 2
1 / 4
Passo 1
O enunciado fornece a função de probabilidade discreta de X com valores e probabilidades:
P(X=0)=\tfrac{1}{4},
P(X=1)=\tfrac{1}{2},
P(X=2)=\tfrac{1}{4}.
Como o enunciado não explicitou uma pergunta, vou calcular as quantidades mais comuns que costumam ser pedidas em provas para uma v.a. discreta: (a) valor esperado E[X], (b) E[X^2] (intermediário útil), (c) variância \mathrm{Var}(X), (d) desvio-padrão \sigma_X, (e) função geradora de momentos M_X(t) e (f) função de distribuição acumulada F_X(x)=P(X\le x).
Passo 2
Definição e cálculo do valor esperado. Para uma v.a. discreta, o valor esperado (média) é
E[X]=\sum_{x} x\,P(X=x),
onde a soma percorre todos os valores possíveis de X. Aqui os termos são:
para x=0: 0\cdot P(X=0)=0\cdot \tfrac{1}{4}=0,
para x=1: 1\cdot P(X=1)=1\cdot \tfrac{1}{2}=\tfrac{1}{2},
para x=2: 2\cdot P(X=2)=2\cdot \tfrac{1}{4}=\tfrac{2}{4}=\tfrac{1}{2}.
Somando:
E[X]=0+\tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{2}=1.
Interpretação rápida: a distribuição é simétrica em torno de 1, então era de esperar média igual a 1.
Passo 3
Cálculo de E[X^2], que é útil para obter a variância. A definição é
E[X^2]=\sum_{x} x^2\,P(X=x).
Calculemos termo a termo:
para x=0: 0^2\cdot \tfrac{1}{4}=0,
para x=1: 1^2\cdot \tfrac{1}{2}=\tfrac{1}{2},
para x=2: 2^2\cdot \tfrac{1}{4}=4\cdot \tfrac{1}{4}=1.
Somando:
E[X^2]=0+\tfrac{1}{2}+1=\tfrac{3}{2}.
Passo 4
Definição e cálculo da variância. A variância pode ser calculada por
Verificação rápida: as probabilidades somam \tfrac{1}{4}+\tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{4}=1, o que confirma que a função de probabilidade está correta. As contas anteriores são consistentes entre si (E[X], E[X^2], \mathrm{Var}(X)).