Considere a variável aleatória discreta X com função de probabilidade dada por:
x 0 1 2
f(x) 1 / 4 1 / 2 1 / 4

Passo 1

O enunciado fornece a função de probabilidade discreta de X com valores e probabilidades:
  • P(X=0)=\tfrac{1}{4},
  • P(X=1)=\tfrac{1}{2},
  • P(X=2)=\tfrac{1}{4}.
Como o enunciado não explicitou uma pergunta, vou calcular as quantidades mais comuns que costumam ser pedidas em provas para uma v.a. discreta: (a) valor esperado E[X], (b) E[X^2] (intermediário útil), (c) variância \mathrm{Var}(X), (d) desvio-padrão \sigma_X, (e) função geradora de momentos M_X(t) e (f) função de distribuição acumulada F_X(x)=P(X\le x).

Passo 2

Definição e cálculo do valor esperado. Para uma v.a. discreta, o valor esperado (média) é
E[X]=\sum_{x} x\,P(X=x),
onde a soma percorre todos os valores possíveis de X. Aqui os termos são:
  • para x=0: 0\cdot P(X=0)=0\cdot \tfrac{1}{4}=0,
  • para x=1: 1\cdot P(X=1)=1\cdot \tfrac{1}{2}=\tfrac{1}{2},
  • para x=2: 2\cdot P(X=2)=2\cdot \tfrac{1}{4}=\tfrac{2}{4}=\tfrac{1}{2}.
Somando:
E[X]=0+\tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{2}=1.
Interpretação rápida: a distribuição é simétrica em torno de 1, então era de esperar média igual a 1.

Passo 3

Cálculo de E[X^2], que é útil para obter a variância. A definição é
E[X^2]=\sum_{x} x^2\,P(X=x).
Calculemos termo a termo:
  • para x=0: 0^2\cdot \tfrac{1}{4}=0,
  • para x=1: 1^2\cdot \tfrac{1}{2}=\tfrac{1}{2},
  • para x=2: 2^2\cdot \tfrac{1}{4}=4\cdot \tfrac{1}{4}=1.
Somando:
E[X^2]=0+\tfrac{1}{2}+1=\tfrac{3}{2}.

Passo 4

Definição e cálculo da variância. A variância pode ser calculada por
\mathrm{Var}(X)=E\big[(X-E[X])^2\big]=E[X^2]-\big(E[X]\big)^2,
onde E[X] é a média calculada antes. Substituindo os valores que já temos:
\mathrm{Var}(X)=\tfrac{3}{2}-\big(1\big)^2=\tfrac{3}{2}-1=\tfrac{1}{2}.
Em decimal, \tfrac{1}{2}=0,5.

Passo 5

Desvio-padrão. O desvio-padrão é a raiz quadrada da variância:
\sigma_X=\sqrt{\mathrm{Var}(X)}=\sqrt{\tfrac{1}{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\approx 0,7071.
(Usamos a vírgula como separador decimal: 0,7071.)

Passo 6

Função geradora de momentos (MGF). A MGF de X é definida por
M_X(t)=E\big[e^{tX}\big]=\sum_x e^{t x}\,P(X=x).
Com os valores dados:
M_X(t)=\tfrac{1}{4}\,e^{t\cdot 0}+\tfrac{1}{2}\,e^{t\cdot 1}+\tfrac{1}{4}\,e^{t\cdot 2} =\tfrac{1}{4}+\tfrac{1}{2}e^{t}+\tfrac{1}{4}e^{2t}.
A MGF está definida para todo t\in\mathbb{R} neste caso.

Passo 7

Função de distribuição acumulada (CDF). A CDF é F_X(x)=P(X\le x). Como X só toma os valores 0,1,2, a CDF é em pedaços:
  • Se x<0, então F_X(x)=0.
  • Se 0\le x<1, então F_X(x)=P(X\le 0)=P(X=0)=\tfrac{1}{4}.
  • Se 1\le x<2, então F_X(x)=P(X\le1)=P(X=0)+P(X=1)=\tfrac{1}{4}+\tfrac{1}{2}=\tfrac{3}{4}.
  • Se x\ge 2, então F_X(x)=1.
Em forma peçawise (resumida):
F_X(x)= \begin{cases} 0, & x<0,\\[4pt] \tfrac{1}{4}, & 0\le x<1,\\[4pt] \tfrac{3}{4}, & 1\le x<2,\\[4pt] 1, & x\ge 2. \end{cases}]

Passo 8

Verificação rápida: as probabilidades somam \tfrac{1}{4}+\tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{4}=1, o que confirma que a função de probabilidade está correta. As contas anteriores são consistentes entre si ( E[X], E[X^2], \mathrm{Var}(X)).

Resposta

E[X]=1
E[X^2]=\tfrac{3}{2}\) \(\mathrm{Var}(X)=\tfrac{1}{2}=0,5\) \(\sigma_X=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\approx 0,7071\) \(M_X(t)=\tfrac{1}{4}+\tfrac{1}{2}e^{t}+\tfrac{1}{4}e^{2t}\) \(F_X(x)=\begin{cases}0,&x<0,\\[2pt]\tfrac{1}{4},&0\le x<1,\\[2pt]\tfrac{3}{4},&1\le x<2,\\[2pt]1,&x\ge 2.\end{cases}]

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