Recolheram-se 9 observações de uma v.a \mathcal{N}(8 ; \sigma) obtendose os seguintes valores:
7.2 ; \quad 7.8 ; \quad 7.5 ; \quad 8.6 ; \quad 7.9 ; \quad 8.3 ; \quad 6.4 ; \quad 8.4 ; \quad 9.8
Construa um intervalo de confiança para \sigma^{2} a 95 \%.
Resposta: [0,3868;2,7222]

Passo 1

Temos uma amostra de tamanho n=9 de uma v.a. \mathcal{N}(\mu=8,\;\sigma), em que a média é conhecida \mu=8 e queremos um intervalo de confiança para \sigma^2 com nível de confiança de 95\%. Vamos usar o fato de que
\frac{1}{\sigma^2}\sum_{i=1}^n (X_i - \mu)^2 \sim \chi^2_n,
com n=9.

Passo 2

Calcular o somatório das quadraturas dos desvios em relação a \mu=8:
\sum_{i=1}^9 (x_i - 8)^2 = (7.2-8)^2 + (7.8-8)^2 + \cdots + (9.8-8)^2 =0.64+0.04+0.25+0.36+0.01+0.09+2.56+0.16+3.24 =7.35.

Passo 3

Para 95\% de confiança, \alpha=0.05 e \alpha/2=0.025. As quantis da qui-quadrado com 9 graus de liberdade são
\chi^2_{1-\alpha/2,\,9}=\chi^2_{0.975,\,9}\approx19.023, \qquad \chi^2_{\alpha/2,\,9}=\chi^2_{0.025,\,9}\approx1.735.

Passo 4

O intervalo de confiança para \sigma^2 é dado por
\frac{\sum (x_i-8)^2}{\chi^2_{1-\alpha/2,\,9}} \;\le\;\sigma^2\;\le\; \frac{\sum (x_i-8)^2}{\chi^2_{\alpha/2,\,9}}
ou seja
\frac{7.35}{19.023}\;\le\;\sigma^2\;\le\;\frac{7.35}{1.735}.

Resposta

\bigl[\,0,3867\;;\;4,2356\,\bigr]

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