Na distribuição gaussiana, temos que a probabilidade é dada por
\wp(x)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi \sigma^{2}}} e^{-\frac{\left(x-x_{0}\right)^{2}}{2 \sigma^{2}}}
Determine os seguintes observáveis:
(d) \overline{(x-\bar{x})^{3}}

Passo 1

O enunciado dá a densidade de probabilidade gaussiana
\wp(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^{2}}}\exp\!\Bigl(-\frac{(x-x_{0})^{2}}{2\sigma^{2}}\Bigr)
e pede a terceira momento central \overline{(x-\bar{x})^{3}}. Vamos usar a definição de momento central e a simetria da gaussiana.

Passo 2

Para qualquer distribuição, o momento central de ordem três é
\overline{(x-\bar{x})^{3}} =\int_{-\infty}^{\infty}(x-\bar{x})^{3}\,\wp(x)\,\mathrm{d}x.
Na gaussiana temos \bar{x}=x_{0}, pois o valor médio é o parâmetro de deslocamento.

Passo 3

Fazendo a mudança de variável y=x-x_{0}, o integral vira
\int_{-\infty}^{\infty}y^{3}\,\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^{2}}}\exp\!\Bigl(-\frac{y^{2}}{2\sigma^{2}}\Bigr)\,\mathrm{d}y.
Como y^{3} é função ímpar e o resto do integrando é função par em y, a integral em (-\infty,\infty) de uma função ímpar é zero.

Resposta

\overline{(x-\bar{x})^{3}}=0.

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