Considere a variável aleatória,
, que é o número de caras em 6 lançamentos de uma moeda equilibrada.
a) Qual é o espaço amostral de
?
b) Determine a distribuição de probabilidade de
.
c) Calcule os valores da média, variância e desvio-padrão de
.
a) Qual é o espaço amostral de
b) Determine a distribuição de probabilidade de
c) Calcule os valores da média, variância e desvio-padrão de
Passo 1
O enunciado diz que
é o número de caras em
lançamentos de uma moeda equilibrada.
Perguntas do enunciado:
a) Qual é o espaço amostral de ?
b) Determine a distribuição de probabilidade de .
c) Calcule a média, a variância e o desvio-padrão de .
Informações relevantes dadas: a moeda é equilibrada (probabilidade de cara é ), e o número de lançamentos é
.
Perguntas do enunciado:
a) Qual é o espaço amostral de
b) Determine a distribuição de probabilidade de
c) Calcule a média, a variância e o desvio-padrão de
Informações relevantes dadas: a moeda é equilibrada (probabilidade de cara é
Passo 2
Entendendo o que
representa (sem resolver ainda):
conta quantas caras aparecem em
lançamentos. Cada lançamento pode dar “cara” ou “coroa” e vamos somar quantas caras ocorreram ao final. Logo, quais valores
pode assumir? Pense: pode não sair nenhuma cara, ou uma, ou duas, …, até todas as seis serem caras. Portanto o conjunto de valores possíveis é formado por todos os inteiros desde 0 até 6.
Passo 3
Agora vamos explicar o modelo de probabilidade que se aplica aqui (isso é importante para saber a fórmula das probabilidades). Cada lançamento é um experimento de Bernoulli: tem dois resultados (cara com probabilidade
, coroa com probabilidade
). Os
lançamentos são independentes. Quando você soma o número de sucessos (caras) em
ensaios de Bernoulli independentes com mesma probabilidade
de sucesso, a variável segue a distribuição binomial. Aqui
e
.
Passo 4
Fórmula da probabilidade na distribuição binomial (vou explicar o que cada símbolo significa): para
Binomial
,
onde
é o número de maneiras de escolher quais
dos
ensaios são sucessos,
é a probabilidade de obter sucesso em exatamente esses
ensaios, e
é a probabilidade de obter fracasso nos outros
ensaios. No nosso caso
e
, então
Isso significa que todas as probabilidades são da forma
porque
.
Passo 5
Vamos calcular os coeficientes binomiais
para
. Lembrando que
Cálculos (mostrando passo a passo para você poder fazer na prova):
(Observação prática:
, por isso alguns valores se repetem.)
Passo 6
Com os coeficientes prontos, calculamos as probabilidades usando
. Vou listar cada
com sua probabilidade e uma aproximação decimal para visão intuitiva (lembre-se de que em prova você pode deixar em fração exata se preferir):
Passo 7
Verificação rápida (boa prática em prova): some as probabilidades para confirmar que somam
. Como os numeradores são os coeficientes binomiais que somam
, a soma das probabilidades é
. Bom sinal — está consistente.
Passo 8
Agora vamos à média (esperança) de
. Vou mostrar uma maneira simples e elegante que funciona sempre para binomial: escreva
como soma de variáveis indicadoras. Seja
a variável que vale
se o
-ésimo lançamento deu cara e
caso contrário. Então
Para cada
,
porque é uma Bernoulli. Pela linearidade da esperança (que diz que
mesmo que as variáveis não sejam independentes),
Portanto a média é
.
Passo 9
Agora a variância de
. Para variáveis independentes, a variância da soma é a soma das variâncias:
Para uma Bernoulli
com parâmetro
vale
. Aqui
, logo
Somando para os
lançamentos,
Passo 10
Finalmente o desvio-padrão é a raiz quadrada da variância:
Resumo numérico: média
, variância
, desvio-padrão aproximadamente
.
Resposta
a)
b) (valores:
)
c)
b)
c)