Considere a variável aleatória, X, que é o número de caras em 6 lançamentos de uma moeda equilibrada.
a) Qual é o espaço amostral de X ?
b) Determine a distribuição de probabilidade de X.
c) Calcule os valores da média, variância e desvio-padrão de X.

Passo 1

O enunciado diz que X é o número de caras em 6 lançamentos de uma moeda equilibrada.
Perguntas do enunciado:
a) Qual é o espaço amostral de X?
b) Determine a distribuição de probabilidade de X.
c) Calcule a média, a variância e o desvio-padrão de X.
Informações relevantes dadas: a moeda é equilibrada (probabilidade de cara é \tfrac{1}{2}), e o número de lançamentos é 6.

Passo 2

Entendendo o que X representa (sem resolver ainda): X conta quantas caras aparecem em 6 lançamentos. Cada lançamento pode dar “cara” ou “coroa” e vamos somar quantas caras ocorreram ao final. Logo, quais valores X pode assumir? Pense: pode não sair nenhuma cara, ou uma, ou duas, …, até todas as seis serem caras. Portanto o conjunto de valores possíveis é formado por todos os inteiros desde 0 até 6.

Passo 3

Agora vamos explicar o modelo de probabilidade que se aplica aqui (isso é importante para saber a fórmula das probabilidades). Cada lançamento é um experimento de Bernoulli: tem dois resultados (cara com probabilidade \tfrac{1}{2}, coroa com probabilidade \tfrac{1}{2}). Os 6 lançamentos são independentes. Quando você soma o número de sucessos (caras) em n ensaios de Bernoulli independentes com mesma probabilidade p de sucesso, a variável segue a distribuição binomial. Aqui n=\!6 e p=\tfrac{1}{2}.

Passo 4

Fórmula da probabilidade na distribuição binomial (vou explicar o que cada símbolo significa): para X\sim Binomial (n,p),
P(X=k)=\binom{n}{k}p^{k}(1-p)^{n-k},
onde \binom{n}{k} é o número de maneiras de escolher quais k dos n ensaios são sucessos, p^{k} é a probabilidade de obter sucesso em exatamente esses k ensaios, e (1-p)^{n-k} é a probabilidade de obter fracasso nos outros n-k ensaios. No nosso caso n=\!6 e p=\tfrac{1}{2}, então
P(X=k)=\binom{6}{k}\left(\tfrac{1}{2}\right)^{k}\left(\tfrac{1}{2}\right)^{6-k}=\binom{6}{k}2^{-6}.
Isso significa que todas as probabilidades são da forma \dfrac{\binom{6}{k}}{64} porque 2^{6}=64.

Passo 5

Vamos calcular os coeficientes binomiais \binom{6}{k} para k=0,1,\dots,6. Lembrando que
\binom{6}{k}=\frac{6!}{k!(6-k)!}.
Cálculos (mostrando passo a passo para você poder fazer na prova):
\binom{6}{0}=1
\binom{6}{1}=6
\binom{6}{2}=\frac{6\cdot5}{2\cdot1}=15
\binom{6}{3}=\frac{6\cdot5\cdot4}{3\cdot2\cdot1}=20
\binom{6}{4}=\binom{6}{2}=15
\binom{6}{5}=\binom{6}{1}=6
\binom{6}{6}=1
(Observação prática: \binom{n}{k}=\binom{n}{n-k}, por isso alguns valores se repetem.)

Passo 6

Com os coeficientes prontos, calculamos as probabilidades usando P(X=k)=\dfrac{\binom{6}{k}}{64}. Vou listar cada k com sua probabilidade e uma aproximação decimal para visão intuitiva (lembre-se de que em prova você pode deixar em fração exata se preferir):
P(X=0)=\dfrac{1}{64}\approx 0{,}0156
P(X=1)=\dfrac{6}{64}=\dfrac{3}{32}\approx 0{,}0938
P(X=2)=\dfrac{15}{64}\approx 0{,}2344
P(X=3)=\dfrac{20}{64}=\dfrac{5}{16}\approx 0{,}3125
P(X=4)=\dfrac{15}{64}\approx 0{,}2344
P(X=5)=\dfrac{6}{64}=\dfrac{3}{32}\approx 0{,}0938
P(X=6)=\dfrac{1}{64}\approx 0{,}0156

Passo 7

Verificação rápida (boa prática em prova): some as probabilidades para confirmar que somam 1. Como os numeradores são os coeficientes binomiais que somam 1+6+15+20+15+6+1=64, a soma das probabilidades é \dfrac{64}{64}=1. Bom sinal — está consistente.

Passo 8

Agora vamos à média (esperança) de X. Vou mostrar uma maneira simples e elegante que funciona sempre para binomial: escreva X como soma de variáveis indicadoras. Seja I_j a variável que vale 1 se o j-ésimo lançamento deu cara e 0 caso contrário. Então
X=I_{1}+I_{2}+\cdots+I_{6}.
Para cada j, E[I_{j}]=p=\tfrac{1}{2} porque é uma Bernoulli. Pela linearidade da esperança (que diz que E[\sum Y_j]=\sum E[Y_j] mesmo que as variáveis não sejam independentes),
E[X]=\sum_{j=1}^{6}E[I_{j}]=6\cdot\tfrac{1}{2}=3.
Portanto a média é \;E[X]=3.

Passo 9

Agora a variância de X. Para variáveis independentes, a variância da soma é a soma das variâncias:
\operatorname{Var}(X)=\sum_{j=1}^{6}\operatorname{Var}(I_{j}).
Para uma Bernoulli I_j com parâmetro p vale \operatorname{Var}(I_j)=p(1-p). Aqui p=\tfrac{1}{2}, logo
\operatorname{Var}(I_j)=\tfrac{1}{2}\left(1-\tfrac{1}{2}\right)=\tfrac{1}{2}\cdot\tfrac{1}{2}=\tfrac{1}{4}.
Somando para os 6 lançamentos,
\operatorname{Var}(X)=6\cdot\tfrac{1}{4}=\tfrac{6}{4}=\tfrac{3}{2}=1{,}5.

Passo 10

Finalmente o desvio-padrão é a raiz quadrada da variância:
\sigma_{X}=\sqrt{\operatorname{Var}(X)}=\sqrt{\tfrac{3}{2}}=\frac{\sqrt{6}}{2}\approx 1{,}225.
Resumo numérico: média 3, variância 1{,}5, desvio-padrão aproximadamente 1{,}225.

Resposta

a) \{0,1,2,3,4,5,6\}
b) \displaystyle P(X=k)=\binom{6}{k}2^{-6}=\dfrac{\binom{6}{k}}{64},\quad k=0,1,\dots,6 (valores: \dfrac{1}{64},\dfrac{6}{64},\dfrac{15}{64},\dfrac{20}{64},\dfrac{15}{64},\dfrac{6}{64},\dfrac{1}{64})
c) \;E[X]=3
\operatorname{Var}(X)=\tfrac{3}{2}=1{,}5
\sigma_{X}=\sqrt{\tfrac{3}{2}}=\dfrac{\sqrt{6}}{2}\approx 1{,}225

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