Porque não pode-se definir a moda da distribuição uniforme? E qual é a moda da distribuição exponencial? Veja que no caso de variáveis contínuas, f(moda) é o maior valor possível.

Passo 1

O que o enunciado pede:
  • Explicar por que não se consegue definir a moda da distribuição uniforme (isto é, o que acontece com a moda quando a variável tem distribuição uniforme).
  • Determinar qual é a moda da distribuição exponencial.
Informações relevantes fornecidas (ou usualmente implicadas pelo enunciado):
  • Para variáveis contínuas costuma-se definir a moda como os pontos que maximizam a densidade de probabilidade, isto é, os x que tornam f(x) máximo.
  • A densidade da uniforme no intervalo [a,b] é, por definição, constante: \displaystyle f(x)=\frac{1}{b-a} para x\in[a,b] (e 0 fora).
  • A densidade da exponencial padrão (com parâmetro \lambda>0) é \displaystyle f(x)=\lambda e^{-\lambda x} para x\ge 0 (e 0 para x<0).

Passo 2

O que é “moda” para variáveis aleatórias (explicação didática, passo a passo):
  • Em variáveis discretas: a moda é o valor (ou valores) com maior probabilidade P(X=x). Ex.: numa amostra {1,1,2,3}, a moda é 1 porque P(X=1) é a maior.
  • Em variáveis contínuas não faz sentido comparar probabilidades pontuais (porque P(X=x)=0 para todo x). Então definimos a moda como os pontos que maximizam a função densidade f(x): a moda é o(s) x que tornam f(x) máximo.
  • Em termos práticos para prova: para encontrar a moda de uma contínua, você procura o(s) x que dão o maior valor de \;f(x)\;. Isso pode ser feito analisando onde f'(x)=0 e conferindo máximos locais, ou observando comportamento nos extremos do suporte quando a densidade é monotônica.

Passo 3

Aplicando a definição ao caso da uniforme (explicação detalhada):
  • A densidade da uniforme em [a,b] é
f(x)=\frac{1}{b-a}\quad\text{para }x\in[a,b].
  • Observe que essa função é constante em todo o intervalo [a,b]. Isso quer dizer que, para qualquer x\in[a,b],
f(x)=\frac{1}{b-a},
ou seja, o valor máximo da densidade no suporte é \dfrac{1}{b-a} e esse máximo é atingido por todos os pontos do intervalo.
  • Conclusão lógica: todos os pontos de [a,b] são pontos maximizantes de f. Portanto não existe uma única moda; a moda não é identificável como um ponto isolado.
  • Dependendo da convenção:
    • Alguns autores dizem que a uniforme tem “moda não única” ou “toda a faixa [a,b] são modas”.
    • Outros preferem dizer que a uniforme “não tem moda única” ou simplesmente “não tem moda” quando se exige unicidade.
  • Exemplo numérico rápido para fixar: para a uniforme em [0,1] temos f(x)=1 para x\in[0,1]. O valor máximo da densidade é 1 e é atingido para qualquer x\in[0,1], logo não há moda única.

Passo 4

Encontrando a moda da exponencial (passo a passo com cálculo):
  • A densidade da exponencial com parâmetro \lambda>0 é
f(x)=\lambda e^{-\lambda x},\quad x\ge 0.
  • Vamos analisar a monotonicidade de f. Calcule a derivada (mostrar como fazer):
f'(x)=\frac{d}{dx}\big(\lambda e^{-\lambda x}\big)=\lambda\cdot(-\lambda)e^{-\lambda x}=-\lambda^{2}e^{-\lambda x}.
  • Observação sobre o sinal: para todo x\ge 0 temos e^{-\lambda x}>0 e \lambda^{2}>0, então
f'(x)=-\lambda^{2}e^{-\lambda x}<0\quad\text{para todo }x\ge 0.
  • Isso significa que f é estritamente decrescente em [0,\infty). Uma função estritamente decrescente tem o seu valor máximo no extremo esquerdo do domínio.
  • Como o suporte da exponencial é [0,\infty), o máximo de f ocorre em x=0. Avaliando:
f(0)=\lambda e^{0}=\lambda.
  • Conclusão: a moda da exponencial (padrão) é o ponto x=0. É única e depende apenas de a densidade ser decrescente desde o limite esquerdo do suporte.
  • Observação extra útil para prova: se a exponencial estivesse deslocada para ter suporte [c,\infty), a moda seria x=c (o extremo esquerdo do suporte).

Passo 5

Resumo prático e dica de prova (como resolver parecido na hora do exame):
  • Regra curta para modo em contínuas: procurar o(s) x que maximizam \;f(x)\;. Para isso:
    • Se f é constante em um intervalo do suporte, então qualquer ponto desse intervalo é maximizante (moda não única).
    • Se f é monotônica (cresce ou decresce), o máximo ocorre em um dos extremos do suporte.
    • Caso geral: resolva f'(x)=0 e classifique máximos com f''(x) ou pelo sinal de f'.
  • Aplicando: uniforme em [a,b] → densidade constante → máxima em todo [a,b] → não há moda única. Exponencial com \lambda>0 → densidade estritamente decrescente → moda em x=0.

Resposta

Para a distribuição uniforme em [a,b]: qualquer x\in[a,b] maximiza a densidade \big(f(x)=\tfrac{1}{b-a}\big), logo não existe uma moda única (toda a faixa [a,b] são pontos de moda).
Para a distribuição exponencial com parâmetro \lambda>0: a moda é x=0.

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