Porque não pode-se definir a moda da distribuição uniforme? E qual é a moda da distribuição exponencial? Veja que no caso de variáveis contínuas, f(moda) é o maior valor possível.
Passo 1
O que o enunciado pede:
- Explicar por que não se consegue definir a moda da distribuição uniforme (isto é, o que acontece com a moda quando a variável tem distribuição uniforme).
- Determinar qual é a moda da distribuição exponencial.
Informações relevantes fornecidas (ou usualmente implicadas pelo enunciado):
- Para variáveis contínuas costuma-se definir a moda como os pontos que maximizam a densidade de probabilidade, isto é, os
que tornam máximo. - A densidade da uniforme no intervalo
é, por definição, constante: para (e fora). - A densidade da exponencial padrão (com parâmetro
) é para (e para ).
Passo 2
O que é “moda” para variáveis aleatórias (explicação didática, passo a passo):
- Em variáveis discretas: a moda é o valor (ou valores) com maior probabilidade
. Ex.: numa amostra {1,1,2,3}, a moda é porque é a maior. - Em variáveis contínuas não faz sentido comparar probabilidades pontuais (porque
para todo ). Então definimos a moda como os pontos que maximizam a função densidade : a moda é o(s) que tornam máximo. - Em termos práticos para prova: para encontrar a moda de uma contínua, você procura o(s)
que dão o maior valor de . Isso pode ser feito analisando onde e conferindo máximos locais, ou observando comportamento nos extremos do suporte quando a densidade é monotônica.
Passo 3
Aplicando a definição ao caso da uniforme (explicação detalhada):
- A densidade da uniforme em
é
- Observe que essa função é constante em todo o intervalo
. Isso quer dizer que, para qualquer ,
ou seja, o valor máximo da densidade no suporte é
e esse máximo é atingido por todos os pontos do intervalo.
- Conclusão lógica: todos os pontos de
são pontos maximizantes de . Portanto não existe uma única moda; a moda não é identificável como um ponto isolado. - Dependendo da convenção:
- Alguns autores dizem que a uniforme tem “moda não única” ou “toda a faixa
são modas”. - Outros preferem dizer que a uniforme “não tem moda única” ou simplesmente “não tem moda” quando se exige unicidade.
- Alguns autores dizem que a uniforme tem “moda não única” ou “toda a faixa
- Exemplo numérico rápido para fixar: para a uniforme em
temos para . O valor máximo da densidade é e é atingido para qualquer , logo não há moda única.
Passo 4
Encontrando a moda da exponencial (passo a passo com cálculo):
- A densidade da exponencial com parâmetro
é
- Vamos analisar a monotonicidade de
. Calcule a derivada (mostrar como fazer):
- Observação sobre o sinal: para todo
temos e , então
- Isso significa que
é estritamente decrescente em . Uma função estritamente decrescente tem o seu valor máximo no extremo esquerdo do domínio. - Como o suporte da exponencial é
, o máximo de ocorre em . Avaliando:
- Conclusão: a moda da exponencial (padrão) é o ponto
. É única e depende apenas de a densidade ser decrescente desde o limite esquerdo do suporte. - Observação extra útil para prova: se a exponencial estivesse deslocada para ter suporte
, a moda seria (o extremo esquerdo do suporte).
Passo 5
Resumo prático e dica de prova (como resolver parecido na hora do exame):
- Regra curta para modo em contínuas: procurar o(s)
que maximizam . Para isso: - Se
é constante em um intervalo do suporte, então qualquer ponto desse intervalo é maximizante (moda não única). - Se
é monotônica (cresce ou decresce), o máximo ocorre em um dos extremos do suporte. - Caso geral: resolva
e classifique máximos com ou pelo sinal de .
- Se
- Aplicando: uniforme em
→ densidade constante → máxima em todo → não há moda única. Exponencial com → densidade estritamente decrescente → moda em .
Resposta
Para a distribuição uniforme em
: qualquer
maximiza a densidade
, logo não existe uma moda única (toda a faixa
são pontos de moda).
Para a distribuição exponencial com parâmetro
: a moda é
.