Usando as funções de distribuição cumulativa, determinar a mediana das distribuições uniforme e exponencial. Use o fato de
mediana
na determinação.
Passo 1
O enunciado pede que a gente determine a mediana de duas distribuições usando que a função de distribuição cumulativa (CDF) satisfaz
. As informações relevantes que o enunciado dá (ou que são padrão) são:
- Para a distribuição uniforme, consideraremos a uniforme em
com . Precisamos achar o valor da mediana em função de e . - Para a distribuição exponencial, consideraremos a exponencial com parâmetro de taxa
. Precisamos achar a mediana em função de .
Não começo a resolver ainda; só organizei o que é pedido e quais as informações que vamos usar.
Passo 2
O que é mediana em termos de CDF? Vou explicar devagar: para uma variável aleatória
com função de distribuição cumulativa
, a mediana
é qualquer valor que satisfaça
Intuição: a mediana é o ponto que divide a probabilidade acumulada em metade à esquerda e metade à direita. Para distribuições contínuas com CDF estritamente crescente no suporte, esse
é único.
Passo 3
Agora vamos à uniforme em
. Primeiro escrevo a CDF da uniforme (essa fórmula é padrão; explico por que):
- Para
não há probabilidade acumulada ainda, então . - Para
já acumulamos tudo, então . - Para
, a densidade é constante e a probabilidade acumulada cresce linearmente com . A CDF nessa parte é
Por que isso? Uma uniforme em
tem densidade
para
. A CDF é a integral dessa densidade desde
até
:
Passo 4
Agora imponho
na expressão no intervalo
. Chamo a mediana de
. Então
Resolvo essa equação passo a passo:
Agora somo
em ambos os lados:
Distribuo o
:
Portanto, a mediana da uniforme em
é o ponto médio
. Isso faz sentido intuitivo: a distribuição é simétrica no intervalo, então a mediana fica exatamente no meio.
Passo 5
Exemplos numéricos rápidos para fixar:
- Para
(ou seja, e ), a mediana é . - Para
, a mediana é .
Passo 6
Agora a exponencial com parâmetro de taxa
. A densidade da exponencial é
A CDF é a integral da densidade desde
até
, então
(Verificação rápida: quando
dá
; quando
dá
.)
Passo 7
Imponho
e resolvo para
:
Passo as constantes:
Agora aplico logaritmo natural em ambos os lados (explico:
é a função inversa de
; como
podemos aplicar
):
Se lembrarmos que
, temos
Portanto, a mediana da exponencial com taxa
é
.
Passo 8
Exemplos numéricos para a exponencial:
- Se
(exponencial padrão), a mediana é . - Se
, a mediana é .
Passo 9
Observações finais rápidas e incentivo: ambos os cálculos foram diretos porque usamos a definição
e as formas conhecidas das CDFs. Na prova, identifique a CDF, imponha
e resolva; pratique com alguns exemplos numéricos para ganhar confiança — você consegue!