Usando as funções de distribuição cumulativa, determinar a mediana das distribuições uniforme e exponencial. Use o fato de \mathrm{F}( mediana )=0,5 na determinação.

Passo 1

O enunciado pede que a gente determine a mediana de duas distribuições usando que a função de distribuição cumulativa (CDF) satisfaz \mathrm{F}(\text{mediana})=0,5. As informações relevantes que o enunciado dá (ou que são padrão) são:
  • Para a distribuição uniforme, consideraremos a uniforme em [\;a,b\;] com a<b. Precisamos achar o valor da mediana em função de a e b.
  • Para a distribuição exponencial, consideraremos a exponencial com parâmetro de taxa \lambda>0. Precisamos achar a mediana em função de \lambda.
Não começo a resolver ainda; só organizei o que é pedido e quais as informações que vamos usar.

Passo 2

O que é mediana em termos de CDF? Vou explicar devagar: para uma variável aleatória X com função de distribuição cumulativa \mathrm{F}_X(x)=P(X\le x), a mediana m é qualquer valor que satisfaça
\mathrm{F}_X(m)=0,5.
Intuição: a mediana é o ponto que divide a probabilidade acumulada em metade à esquerda e metade à direita. Para distribuições contínuas com CDF estritamente crescente no suporte, esse m é único.

Passo 3

Agora vamos à uniforme em [\;a,b\;]. Primeiro escrevo a CDF da uniforme (essa fórmula é padrão; explico por que):
  • Para x<a não há probabilidade acumulada ainda, então \mathrm{F}(x)=0.
  • Para x>b já acumulamos tudo, então \mathrm{F}(x)=1.
  • Para a\le x\le b, a densidade é constante e a probabilidade acumulada cresce linearmente com x. A CDF nessa parte é
\mathrm{F}(x)=\frac{x-a}{b-a}.
Por que isso? Uma uniforme em [\;a,b\;] tem densidade f(x)=\frac{1}{b-a} para x\in[a,b]. A CDF é a integral dessa densidade desde a até x:
\mathrm{F}(x)=\int_{a}^{x}\frac{1}{b-a}\,dt=\frac{x-a}{b-a}.

Passo 4

Agora imponho \mathrm{F}(\text{mediana})=0,5 na expressão no intervalo [a,b]. Chamo a mediana de m. Então
\frac{m-a}{b-a}=0,5.
Resolvo essa equação passo a passo:
\frac{m-a}{b-a}=0,5 \quad\Longrightarrow\quad m-a=0,5(b-a).
Agora somo a em ambos os lados:
m=a+0,5(b-a).
Distribuo o 0,5:
m=a+\frac{b-a}{2}=\frac{2a+b-a}{2}=\frac{a+b}{2}.
Portanto, a mediana da uniforme em [\;a,b\;] é o ponto médio \dfrac{a+b}{2}. Isso faz sentido intuitivo: a distribuição é simétrica no intervalo, então a mediana fica exatamente no meio.

Passo 5

Exemplos numéricos rápidos para fixar:
  • Para \text{Uniforme}(0,1) (ou seja, a=0 e b=1), a mediana é \dfrac{0+1}{2}=0,5.
  • Para \text{Uniforme}(2,5), a mediana é \dfrac{2+5}{2}=3,5.

Passo 6

Agora a exponencial com parâmetro de taxa \lambda>0. A densidade da exponencial é
f(x)=\lambda e^{-\lambda x},\qquad x\ge 0.
A CDF é a integral da densidade desde 0 até x, então
\mathrm{F}(x)=\int_{0}^{x}\lambda e^{-\lambda t}\,dt=1-e^{-\lambda x},\qquad x\ge 0.
(Verificação rápida: quando x=0 0; quando x\to\infty 1.)

Passo 7

Imponho \mathrm{F}(m)=0,5 e resolvo para m:
1-e^{-\lambda m}=0,5.
Passo as constantes:
e^{-\lambda m}=1-0,5=0,5.
Agora aplico logaritmo natural em ambos os lados (explico: \ln é a função inversa de e^{(\cdot)}; como e^{-\lambda m}>0 podemos aplicar \ln):
-\lambda m=\ln(0,5).
Se lembrarmos que \ln(0,5)=\ln\!\big(\tfrac{1}{2}\big)=-\ln 2, temos
-\lambda m=-\ln 2 \quad\Longrightarrow\quad m=\frac{\ln 2}{\lambda}.
Portanto, a mediana da exponencial com taxa \lambda é \dfrac{\ln 2}{\lambda}.

Passo 8

Exemplos numéricos para a exponencial:
  • Se \lambda=1 (exponencial padrão), a mediana é \ln 2\approx 0,693.
  • Se \lambda=2, a mediana é \dfrac{\ln 2}{2}\approx 0,3465.

Passo 9

Observações finais rápidas e incentivo: ambos os cálculos foram diretos porque usamos a definição \mathrm{F}(m)=0,5 e as formas conhecidas das CDFs. Na prova, identifique a CDF, imponha =0,5 e resolva; pratique com alguns exemplos numéricos para ganhar confiança — você consegue!

Resposta

\text{Mediana da uniforme em }[a,b]=\dfrac{a+b}{2}\n \text{Mediana da exponencial com taxa }\lambda=\dfrac{\ln 2}{\lambda}

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