Considere a variável aleatória , com a seguinte função de distribuição
Determine a função de probabilidade de X.
Passo 1
Beleza, o enunciado dá a função de distribuição acumulada (CDF) de uma variável aleatória discreta FX(x)=P(X<= x)= 0,&x<0, dfrac16,&0<= x<2, dfrac14,&2<= x<4, dfrac12,&4<= x<6, 1,&x>=6 :
O que a gente quer é a função de probabilidade (pmf) . Matéria: Variáveis Aleatórias Discretas e CDFs. Pra resolver, vamos usar a ideia de que toda vez que a CDF “sai de fininho” de um valor a outro, isso indica uma massa de probabilidade.
Passo 2
Teoria rápida: para variável discreta,
P(X=x)=FX(x)-limtto x^-FX(t)
Ou seja, a probabilidade em é o tamanho do salto da CDF em . Se não tiver salto, .
Passo 3
Vamos achar os saltos nos pontos onde a CDF muda de valor:
Em FX(0)=tfrac16, limtto0^-FX(t)=0 Longrightarrow P(X=0)=tfrac16-0=tfrac16 : FX(2)=tfrac14, limtto2^-FX(t)=tfrac16 Longrightarrow P(X=2)=tfrac14-tfrac16=tfrac112
Em FX(4)=tfrac12, limtto4^-FX(t)=tfrac14 Longrightarrow P(X=4)=tfrac12-tfrac14=tfrac14 : FX(6)=1, limtto6^-FX(t)=tfrac12 Longrightarrow P(X=6)=1-tfrac12=tfrac12
Em :
Em :
Entre esses pontos a CDF é constante, então não tem probabilidade em outros valores.
Resposta
pX(x)=P(X=x) = dfrac16,&x=0,[6pt] dfrac112,&x=2,[6pt] dfrac14,&x=4,[6pt] dfrac12,&x=6,[3pt] 0,&caso contrário á