Considere a variável aletória X com função de probabilidade
P(X=x)= a x & , x=1,2,3 0 & , caso contrário á
sendo a uma constante real.
Determine a função de distribuição de X.

Passo 1

Beleza, temos uma variável aleatória discreta X com
P(X=x)= a,x,,&x=1,2,3, 0,,&caso contrário á
O que queremos é a função de distribuição acumulada
FX(x)=P(X<= x),
Para isso, vamos precisar de duas coisas:
  1. Achar o valor de usando a regra de que a soma das probabilidades vale 1.
  2. Usar a definição de como soma das probabilidades até .

Passo 2

Primeiro, normalizar a PMF para encontrar sumi=1^3 P(X=i) =sumi=1^3 a,i = a,(1+2+3) =6a =1 . A soma das probabilidades para a=16 tem que ser 1:
Logo,

Passo 3

Agora, lembrando a definição de função de distribuição acumulada para variável discreta:
FX(x)=P(X<= x)=sumt,:,t<= xP(X=t)
Como só assume valores em , é uma função “em degraus”. Precisamos analisar em quatro regiões:

Passo 4

Calculemos FX(x)=0 em cada intervalo, usando FX(x)=P(X=1)=acdot1=16 :
  1. Se FX(x)=P(X=1)+P(X=2) =16+26 =36=12 , nenhum dos valores 1,2,3 está ≤ FX(x)=16+26+36 =66=1 . Então
  2. Se , só o valor 1 conta:
  3. Se , entram 1 e 2:
  4. Se , entram 1, 2 e 3:

Resposta

Assim, a função de distribuição acumulada é
FX(x)= 0,,&x<1,[6pt] 16,,&1<= x<2,[6pt] 12,,&2<= x<3,[6pt] 1,,&x>=3

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