Considere a variável aletória X com função de probabilidade
P(X=x)= a x & , x=1,2,3 0 & , caso contrário á
sendo a uma constante real.
Calcule a moda, a mediana e o valor esperado de X.

Passo 1

Beleza, vamos recapitular o que o exercício pede:
Temos uma variável aleatória discreta P(X=x)= a,x, & x=1,2,3, 0, & caso contrário com
á
O que a gente precisa fazer é:
  • Encontrar a moda (valor de que tem maior probabilidade).
  • Encontrar a mediana (valor que deixa 50% da probabilidade acumulada até ele).
  • Calcular o valor esperado .
O assunto aqui é variável aleatória discreta, usando os conceitos de função de probabilidade, moda, mediana e esperança. Para resolver, vamos precisar:
  1. Achar a constante impondo que as probabilidades somem 1 (normalização).
  2. Usar definição de moda, mediana e fórmula de .

Passo 2

Primeiro, a gente encontra sumx=1^3P(X=x)=1 Longrightarrow sumx=1^3 a,x =1 Longrightarrow a,(1+2+3)=1 Longrightarrow 6a=1 Longrightarrow a=tfrac16 pela condição de normalização:
P(1)=tfrac16, P(2)=tfrac26=tfrac13, P(3)=tfrac36=tfrac12
Ou seja, nossas probabilidades são:

Passo 3

Moda: em variáveis discretas, a moda é o valor de P(1)=tfrac16approx0,17, P(2)=tfrac13approx0,33, P(3)=tfrac12=0,5 que tem a maior probabilidade .
Aqui:
O maior é .
Logo, moda = 3.

Passo 4

Mediana: é o menor valor F(1)=P(1)=tfrac16approx0,17, tal que a função de distribuição acumulada F(2)=P(1)+P(2)=tfrac16+tfrac26=tfrac36=0,5, seja pelo menos 0,5.
Vamos calcular o acumulado:
F(3)=1
O primeiro com é .
Logo, mediana = 2.

Passo 5

Esperança E[X]=sumx x,P(X=x) : a fórmula é
E[X] =1cdottfrac16+2cdottfrac26+3cdottfrac36 =1+4+96 =146 =73
Aqui temos só , então:

Resposta

Moda = 3
Mediana = 2
Valor esperado = .

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