Considere a variável aleatória X, com a seguinte função de distribuição
FX(x)=P(X <= x)=lll 0 & , & x<0 1 / 6 & , 0 <= x<2 1 / 4 & , 2 <= x<4 1 / 2 & , 4 <= x<6 1 & , & x >= 6
Calcule P(X <= 1), P(X>5), P(0 e P(2 <= X<6).

Passo 1

Beleza, a questão diz que temos uma variável aleatória cujo gráfico da função de distribuição acumulada (CDF) é dado por pedaços constantes em vários intervalos. O que cai nessa matéria? Distribuição de probabilidade e como usar a função de distribuição acumulada pra calcular probabilidade de eventos.
O que vamos precisar:
  • Entender que é uma função crescente, constante por trechos, que dá “tudo até x”.
  • Saber que
    • ,
    • ,
    • .

Passo 2

Calcular P(X<=1)=FX(1)=16 .
Teoria rápida: se , então basta substituir .
No enunciado, para , . Como está aí dentro,

Passo 3

Calcular P(X>5)=1-FX(5)=1-tfrac12=12 .
Sabendo que . Agora, 5 entra em “ ”, onde . Logo

Passo 4

Calcular P(0.
Aqui usamos .
  • : no enunciado, “ ” dá . E a CDF é contínua pela direita, então em , .
  • : para “ ” vale . Como a CDF é contínua à direita, em , .
    Então

Passo 5

Calcular P(2<= X<6)=FX(6^-)-FX(2^-)=12-16=3-16=13 .
Para “ ”, o jeito mais direto é olhar a CDF logo antes de 6 e logo antes de 2:
  • (valor justo antes de 6) está em “ ”, que é .
  • (antes de 2) está em “ ”, que é .
    Então

Resposta

P(X≤1)=1/6,
P(X>5)=1/2,
P(0<X≤2)=1/12,
P(2≤X<6)=1/3.

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