Considere a variável aleatória X, com a seguinte função de distribuição
FX(x)=P(X <= x)=lll 0 & , & x<0 1 / 6 & , 0 <= x<2 1 / 4 & , 2 <= x<4 1 / 2 & , 4 <= x<6 1 & , & x >= 6
Determine:
  • A média, a mediana e a moda.
  • O 1^O e 2^O momentos ordinários.
  • A variância e o desvio padrão.

Passo 1

Beleza, então o que temos aqui? O enunciado dá a função de distribuição acumulada (CDF) de uma variável discreta X com “degraus” em 0, 2, 4 e 6. A gente precisa achar:
  • Média, mediana e moda
  • 1º e 2º momentos ordinários
  • Variância e desvio padrão
Matéria envolvida: distribuição discreta, p.m.f. (que a gente vai tirar dos saltos da CDF), definição de esperança (E[X]), momentos (E[X²]) e fórmulas de variância e desvio.

Passo 2

Primeiro a gente extrai a p.m.f. a partir da CDF. Teoria rapidinha: para variável discreta,
p(x)=P(X=x)=FX(x)-limtto x^-FX(t),
Olha os saltos:
- Em x=0: p(0)=F(0)-F(0^-)=tfrac16-0=tfrac16.
- Em x=2: p(2)=F(2)-F(2^-)=tfrac14-tfrac16=tfrac112.
- Em x=4: p(4)=F(4)-F(4^-)=tfrac12-tfrac14=tfrac14.
- Em x=6: p(6)=F(6)-F(6^-)=1-tfrac12=tfrac12.
Só conferir que tfrac16+tfrac112+tfrac14+tfrac12=1,, beleza.

Passo 3

Agora a média. Teoria:
E[X]=sumx x,p(x),
Substituindo:
$$E[X]=0\cdot\tfrac16+2\cdot\tfrac1{12}+4\cdot\tfrac14+6\cdot\tfrac12
=\tfrac{2}{12}+1+3
=\tfrac16+4
=\tfrac{25}{6}\approx4{,}1667,. $$

Passo 4

Mediana e moda.
  • Mediana: é o menor valor m tal que FX(m)>=0,5. Vendo a CDF, em x=4 já temos FX(4)=tfrac12, então a mediana vale 4.
  • Moda: é o valor que tem maior probabilidade. Olhando na p.m.f., p(6)=tfrac12 é a maior, logo a moda é 6.

Passo 5

1º e 2º momentos ordinários.
  • 1º momento ordinário: m1'=E[X], já calculamos, é tfrac256.
  • 2º momento ordinário:
m2'=E[X^2]=sumx x^2,p(x) =0^2cdottfrac16+2^2cdottfrac112+4^2cdottfrac14+6^2cdottfrac12 =tfrac412+4+18 =tfrac13+22 =tfrac673approx22,3333,

Passo 6

Variância e desvio padrão.
Teoria:
Var(X)=E[X^2]-(E[X])^2=m2'-(m1')^2,sigmaX=raizVar(X),
Substituindo:
$$\mathrm{Var}(X)=\tfrac{67}{3}-\bigl(\tfrac{25}{6}\bigr)^2
=\tfrac{67}{3}-\tfrac{625}{36}
=\tfrac{804-625}{36}
=\tfrac{179}{36}\approx4{,}9722,. $$
Var(X)=tfrac673-l(tfrac256r)^2 =tfrac673-tfrac62536 =tfrac804-62536 =tfrac17936approx4,9722,

Resposta

Média E[X]=tfrac256approx4,1667
Mediana =4
Moda =6
1º momento ordinário m1'=25/6
2º momento ordinário m2'=67/3
Variância !=179/36approx4,9722
Desvio padrão sigma=raiz179/6approx2,230

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