O tempo de funcionamento sem avarias (expresso em dias) de um determinado equipamento, tem a seguinte função densidade de probabilidade:
Calcule a probabilidade de o equipamento funcionar sem avarias durante um período compreendido entre 1 e 3 dias.
Passo 1
Beleza, então o exercício diz que o tempo
de funcionamento do equipamento (em dias) segue a densidade
A parada é calcular a probabilidade de o equipamento durar pelo menos 1 dia e quebrar antes ou igual a 3 dias, isto é
Estamos na matéria de variáveis aleatórias contínuas, especificamente na distribuição exponencial. Para resolver, vamos precisar saber como passar da densidade
para a função de distribuição acumulada
e usar a ideia de que
Passo 2
Antes de sair integrando, vamos lembrar a teoria:
- A densidade
nos diz a “taxa” de probabilidade por unidade de . - A função de distribuição acumulada
(CDF) é - Pra distribuição exponencial com parâmetro
, temos diretamente
No nosso caso,
.
Passo 3
Vamos escrever o
específico para
. Para
:
E para
,
, mas como nosso intervalo é entre 1 e 3 (ambos positivos), só usamos a fórmula acima.
Passo 4
Agora é a parte prática:
Substituindo:
Logo,