O tempo de funcionamento sem avarias (expresso em dias) de um determinado equipamento, tem a seguinte função densidade de probabilidade:
f(t)= 0 & , t<0 0.5 e^-0.5 t & , t >= 0
Calcule a probabilidade de o equipamento funcionar sem avarias durante um período compreendido entre 1 e 3 dias.

Passo 1

Beleza, então o exercício diz que o tempo f(t)= 0, & t<0, 0.5,e^-0.5t, & t>=0 de funcionamento do equipamento (em dias) segue a densidade
P(1 <= T <= 3)
A parada é calcular a probabilidade de o equipamento durar pelo menos 1 dia e quebrar antes ou igual a 3 dias, isto é
P(a <= T <= b) = F(b) - F(a)
Estamos na matéria de variáveis aleatórias contínuas, especificamente na distribuição exponencial. Para resolver, vamos precisar saber como passar da densidade para a função de distribuição acumulada e usar a ideia de que

Passo 2

Antes de sair integrando, vamos lembrar a teoria:
  • A densidade F(t) = integral-infty^t f(x),dx nos diz a “taxa” de probabilidade por unidade de F(t) = 1 - e^-lambda t, t>=0 .
  • A função de distribuição acumulada (CDF) é
  • Pra distribuição exponencial com parâmetro , temos diretamente
No nosso caso, .

Passo 3

Vamos escrever o F(t) = 1 - e^-0.5,t específico para . Para :
E para , , mas como nosso intervalo é entre 1 e 3 (ambos positivos), só usamos a fórmula acima.

Passo 4

Agora é a parte prática:
P(1 <= T <= 3) = F(3) - F(1)
Substituindo:
F(3) = 1 - e^-0.5cdot3 = 1 - e^-1.5, F(1) = 1 - e^-0.5cdot1 = 1 - e^-0.5
Logo,
P(1 <= T <= 3) = l(1 - e^-1.5r) - l(1 - e^-0.5r) = e^-0.5 - e^-1.5

Resposta

boxedP(1 <= T <= 3) = e^-0.5 - e^-1.5 approx 0,6065 - 0,2231 = 0,3834

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