Considere que a variável aleatória X tem função densidade dada por:
Calcule f(x)= ll 3 x^2, & se -1 <= x <= 0 0, & caso contrário .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício diz que temos uma variável aleatória contínua X com densidade
f(x)= 3x^2, & se -1 <= x <= 0, 0, & caso contrário á
E a gente precisa calcular a variância .
Conteúdo: variância de variável contínua.
O que vamos usar:
  • A definição de valor esperado (momento de ordem 1):
    .
  • O segundo momento:
    .
  • A fórmula da variância:
    .

Passo 2

Primeiro, vamos achar E(X) =integral-1^0 xcdot 3x^2 ,dx =3integral-1^0 x^3,dx .
Teoria: para variável contínua, o valor esperado é a “média” ponderada pela densidade.
Aqui:
integral x^3,dx = x^44,
Calculemos o integral:
E(X) =3[x^44]-1^0 =3l(0 - (-1)^44r) =3l(0 - 14r) =-34
então

Passo 3

Agora, E(X^2) =integral-1^0 x^2cdot 3x^2,dx =3integral-1^0 x^4,dx .
Teoria: segundo momento é E(X^2) =3[x^55]-1^0 =3l(0 - (-1)^55r) =3l(0 - l(-tfrac15r)r) =3cdot15 =35 .
Aqui:
O integral de é
. Então

Passo 4

Fórmula da variância:
V(X)=E(X^2)-l(E(X)r)^2
Substituindo:
V(X) =35 - l(-34r)^2 =35 - 916
Vamos colocar no mesmo denominador (80):
V(X) =4880 - 4580 =380 e .
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Resposta

V(X) = 380

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