Considere que uma variável aleatória X tenha distribuição binomial com parâmetros n (conhecido) e theta (desconhecido).
Em seguida, verifique que T(X)=X, e que portanto X é uma estatística suficiente para theta.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que tem distribuição Binomial , com conhecido e desconhecido, e pede para mostrar que é estatística suficiente para .
Conteúdo: teoria de estatística suficiente, mais precisamente o Teorema da Fatorização. Vamos precisar da função de massa de probabilidade da Binomial e entender como separar em duas “peças”: uma que dependa de via e outra que não dependa de .

Passo 2

Primeiro, escreve a função de massa de probabilidade (pmf) de f(xmid theta) ;=; binomnx,theta^x,(1-theta)^,n-x, :
para .

Passo 3

Agora, lembra do Teorema da Fatorização: uma estatística f(xmidtheta) ;=; gl(T(x),thetar),cdot,h(x), é suficiente para se a pmf puder ser escrita como
onde depende de só pela estatística e , e não envolve .

Passo 4

Na nossa pmf, podemos ver que
f(xmid theta) =underbracetheta^x,(1-theta)^,n-xg(x,theta) ;times; underbracebinomnxh(x)
Aqui, depende de só via , e não envolve . Então basta definir .

Resposta

é estatística suficiente para .

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