Considere que uma variável aleatória tenha distribuição binomial com parâmetros (conhecido) e (desconhecido).
Em seguida, verifique que , e que portanto é uma estatística suficiente para .
Passo 1
Beleza, o enunciado diz que tem distribuição Binomial, com conhecido e desconhecido, e pede para mostrar que é estatística suficiente para .
Conteúdo: teoria de estatística suficiente, mais precisamente o Teorema da Fatorização. Vamos precisar da função de massa de probabilidade da Binomial e entender como separar em duas “peças”: uma que dependa de via e outra que não dependa de .
Passo 2
Primeiro, escreve a função de massa de probabilidade (pmf) de :
para .
Passo 3
Agora, lembra do Teorema da Fatorização: uma estatística é suficiente para se a pmf puder ser escrita como
onde depende de só pela estatística e , e não envolve .
Passo 4
Na nossa pmf, podemos ver que
Aqui, depende de só via , e não envolve . Então basta definir .