Seja uma população com distribuição gama com vetor de parâmetros , da qual são tomadas amostras aleatórias de tamanho undersetsimtheta=[llalpha & beta]^prime.
Mostre que que n é uma família exponencial.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que temos uma população com distribuição Gama, cujo parâmetro é o vetor
tildetheta = alpha beta ,
e que tiramos uma amostra aleatória de tamanho . A tarefa é mostrar que a função de densidade conjunta dessa amostra, , pode ser escrita no formato de “família exponencial”.
Conteúdo que vamos usar:
  1. pdf da Gama para uma observação;
  2. definição de família exponencial (forma );
  3. manipulação de exponenciais e logs pra agrupar termos.

Passo 2

Primeiro, lembrando a pdf de uma única observação f(ximidalpha,beta) =beta^alphaGamma(alpha),xi^alpha-1,e^-beta xi, distribuída Gama( f(tilde xmidalpha,beta) =prodi=1^nbeta^alphaGamma(alpha),xi^alpha-1,e^-beta xi =beta^nalphaGamma(alpha)^n,l(prodi=1^n xi^alpha-1r),e^-betasumi=1^n xi, ):
Como a amostra é i.i.d., a densidade conjunta é o produto de cada :

Passo 3

Agora queremos ver isso como
h(tilde x),exp!l[eta(theta)^top T(tilde x)-A(theta)r]
Primeiro, junta tudo dentro de uma exponencial usando que
f(tilde xmidalpha,beta) =expl[nalphalnbeta +(alpha-1)sumi=1^nln xi -betasumi=1^n xi -nlnGamma(alpha)r] ,
e .
Ficamos com

Passo 4

Comparando com a forma geral da família exponencial
f(tilde xmidtheta) = h(tilde x),expl[eta1(theta),T1(tilde x) +eta2(theta),T2(tilde x) -A(theta)r],
identificamos:
  • Estatísticas suficientes
    ,
    .
  • Parâmetros canônicos
    ,
    .
  • Função cumulante
    .
  • E a parte que só depende de é
    .

Resposta

Mostramos que
f(tilde xmidalpha,beta) =1;expl[(alpha-1),T1(tilde x) -beta,T2(tilde x) -l(nlnGamma(alpha)-nalphalnbetar)r],
portanto a Gama( T(tilde x)=l(sumln xi,;sum xir), eta(alpha,beta)=(alpha-1,;-,beta), A(alpha,beta)=nlnGamma(alpha)-nalphalnbeta ) para amostra i.i.d. é de fato uma família exponencial com

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