Seja uma população com distribuição gama com vetor de parâmetros , da qual são tomadas amostras aleatórias de tamanho
.
Mostre que que
é uma família exponencial.
Mostre que que
Passo 1
Beleza, o enunciado diz que temos uma população com distribuição Gama, cujo parâmetro é o vetor
e que tiramos uma amostra aleatória de tamanho
. A tarefa é mostrar que a função de densidade conjunta dessa amostra,
, pode ser escrita no formato de “família exponencial”.
Conteúdo que vamos usar:
Conteúdo que vamos usar:
- pdf da Gama para uma observação;
- definição de família exponencial (forma
); - manipulação de exponenciais e logs pra agrupar termos.
Passo 2
Primeiro, lembrando a pdf de uma única observação
distribuída Gama(
):
Como a amostra é i.i.d., a densidade conjunta é o produto de cada
:
Passo 3
Agora queremos ver isso como
Primeiro, junta tudo dentro de uma exponencial usando que
,
e
.
Ficamos com
Ficamos com
Passo 4
Comparando com a forma geral da família exponencial
identificamos:
- Estatísticas suficientes
,
. - Parâmetros canônicos
,
. - Função cumulante
. - E a parte que só depende de
é
.
Resposta
Mostramos que
portanto a Gama(
) para amostra i.i.d. é de fato uma família exponencial com