Mostre que:
P(A mid B, C)=P(B mid A, C) P(A mid C)P(B mid C)

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos a fórmula
P(Amid B,C);=;P(Bmid A,C),P(Amid C)P(Bmid C)
Estamos em Probabilidade Condicional, mais especificamente na chamada “fórmula de Bayes” (ou teorema de Bayes) estendido para três eventos.
Para isso, vamos precisar:
  • Da definição de probabilidade condicional: P(Xmid Y)=P(X,Y)P(Y)
    - Da regra do produto (ou regra da cadeia):
    P(X,Y)=P(Xmid Y),P(Y)
A partir do Passo 2 começamos a resolver de fato.

Passo 2

Primeiro, use a definição de probabilidade condicional para o lado esquerdo:
P(Amid B,C) =P(A,B,C)P(B,C)
Aqui estamos tratando como um único “evento composto”.

Passo 3

Agora aplicamos a regra do produto em P(A,B,C)=P(Bmid A,C),P(A,C) :
P(Amid B,C) =P(Bmid A,C),P(A,C)P(B,C)
Substituindo em cima:

Passo 4

Ainda temos P(Amid B,C) =P(Bmid A,C),l[P(Amid C),P(C)r]P(Bmid C),P(C) =P(Bmid A,C),P(Amid C),cancelP(C)P(Bmid C),cancelP(C) e . Vamos quebrar cada um com a regra do produto de novo, agora em pares simples:
Substituindo tudo na expressão:
Repare que aparece em cima e embaixo e se cancela.

Resposta

boxedP(Amid B,C)=P(Bmid A,C),P(Amid C)P(Bmid C)

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