Numa fábrica existem três máquinas iguais de uma mesma marca, que trabalham independentemente. A probabilidade de cada máquina avariar num dado espaço de tempo é 0.1. Seja X a variável aleatória que representa o número de máquinas que findo esse tempo estão a trabalhar. Determine:
Represente graficamente a função de probabilidade e a função de distribuição de X.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz: a gente tem 3 máquinas que falham com probabilidade 0,1 cada uma, de forma independente. A variável aleatória conta quantas estão funcionando (ou seja, “sucesso” = máquina funciona, ). O conteúdo aqui é a distribuição Binomial (número de sucessos em tentativas). Para resolver, vamos precisar da fórmula da função de probabilidade (pmf) da binomial, da definição de função de distribuição acumulada (cdf) e de como esboçar graficamente essas duas funções.

Passo 2

Teoria da Binomial:
Se P(X=k);=;binomnk,p^k,(1-p)^,n-k, , então
F(x)=P(X<= x)=sumi=0^lfloor xrfloorP(X=i)
para . Aqui e . Vamos usar também a definição de cdf:

Passo 3

Calcular a pmf para :

Passo 4

Agora a cdf :

Passo 5

Para desenhar graficamente:
  • A pmf é um gráfico de barras em com alturas iguais a .
  • A cdf é um gráfico em “degraus”: fica constante até o ponto e “sobe” no valor .

Resposta

Gráfico da Função de Probabilidade (pmf):
^ P(X)
0.8| #######
0.6|
0.4| ####
0.2| ##
0.0|#
±-----------------------> k
0 1 2 3
(onde cada “#” é um bloco proporcional à probabilidade; as alturas exatas são 0.001, 0.027, 0.243 e 0.729)
Gráfico da Função de Distribuição (cdf):
^ F(X)
1.0| ______
| |
0.3| |
| |
0.028|
|
| |
0.001|
|
±-----------------------> k
0 1 2 3
(é uma curva em degraus que sobe em 0.001, 0.028, 0.271 e atinge 1 em ).

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