Numa fábrica existem três máquinas iguais de uma mesma marca, que trabalham independentemente. A probabilidade de cada máquina avariar num dado espaço de tempo é 0.1. Seja
a variável aleatória que representa o número de máquinas que findo esse tempo estão a trabalhar. Determine:
Represente graficamente a função de probabilidade e a função de distribuição de
.
Represente graficamente a função de probabilidade e a função de distribuição de
Passo 1
Beleza, o enunciado diz: a gente tem 3 máquinas que falham com probabilidade 0,1 cada uma, de forma independente. A variável aleatória
conta quantas estão funcionando (ou seja, “sucesso” = máquina funciona,
). O conteúdo aqui é a distribuição Binomial (número de sucessos em
tentativas). Para resolver, vamos precisar da fórmula da função de probabilidade (pmf) da binomial, da definição de função de distribuição acumulada (cdf) e de como esboçar graficamente essas duas funções.
Passo 2
Teoria da Binomial:
Se , então
Se
para
. Aqui
e
. Vamos usar também a definição de cdf:
Passo 3
Calcular a pmf para
:
Passo 4
Agora a cdf
:
Passo 5
Para desenhar graficamente:
- A pmf é um gráfico de barras em
com alturas iguais a . - A cdf é um gráfico em “degraus”: fica constante até o ponto
e “sobe” no valor .
Resposta
Gráfico da Função de Probabilidade (pmf):
^ P(X)
0.8| #######
0.6|
0.4| ####
0.2| ##
0.0|#
±-----------------------> k
0 1 2 3
^ P(X)
0.8| #######
0.6|
0.4| ####
0.2| ##
0.0|#
±-----------------------> k
0 1 2 3
(onde cada “#” é um bloco proporcional à probabilidade; as alturas exatas são 0.001, 0.027, 0.243 e 0.729)
Gráfico da Função de Distribuição (cdf):
^ F(X)
1.0| ______
| |
0.3| |
| |
0.028||
| |
0.001||
±-----------------------> k
0 1 2 3
^ F(X)
1.0| ______
| |
0.3| |
| |
0.028||
| |
0.001||
±-----------------------> k
0 1 2 3
(é uma curva em degraus que sobe em 0.001, 0.028, 0.271 e atinge 1 em
).