Considere
. Mostre que
é conservativo e calcule
, onde
é qualquer curva suave ligando o ponto (
) ao ponto (
).
Passo 1
O enunciado dá o campo vetorial
e pede duas coisas: mostrar que
é conservativo e calcular
, onde
é qualquer curva suave ligando os pontos
e
.
Dados relevantes: as componentes de são
Dados relevantes: as componentes de
Passo 2
O que significa “conservativo” (explicação didática): um campo vetorial
é conservativo se existe uma função escalar
tal que
; isto é,
Uma maneira prática de verificar se
tem essa propriedade é calcular o rotacional
. Em regiões simplesmente conexas (como
), se
então
é conservativo. Vou usar essa ideia porque o domínio aqui é todo o espaço
.
Passo 3
Calculemos o rotacional
. A fórmula em componentes é
Agora calculamos cada derivada parcial usando as componentes dadas.
-
-
Logo a primeira componente do rotacional é. -
-
Logo a segunda componente é. -
-
Logo a terceira componente é
Portanto
Passo 4
Conclusão do teste de rotacional (explicação didática curta): como
em todo
e
é simplesmente conexo, segue que
é conservativo — existe uma potencial
tal que
. Agora vamos encontrar essa função potencial explicitamente (útil para calcular integrais de linha).
Passo 5
Método prático para achar a potencial (aula passo a passo): começamos integrando a primeira equação
em relação a
.
Integramos
Integramos
em
, tratando
como constantes:
onde
é uma “constante” de integração que pode depender de
e
(porque diferenciamos apenas em
).
Passo 6
Agora usamos a condição
para determinar
. Calculemos
a partir da expressão obtida:
Devemos ter
. Igualando,
Isso mostra que
não depende de
, ou seja
para alguma função
de
apenas.
Passo 7
Usamos agora
para determinar
. Da expressão de
,
Devemos ter
. Assim
Logo
é constante. Podemos tomar essa constante igual a zero (potencial é determinado até uma constante). Assim escolhemos
Passo 8
Cálculo da integral de linha (aplicando o Teorema Fundamental para campos conservativos): para qualquer curva
suave ligando
a
,
Calculemos
nos pontos dados:
Portanto