Considere \vec{F}(x, y, z)=\left(e^{x} \cos y+z,-e^{x} \sin y, x\right). Mostre que \vec{F} é conservativo e calcule \int_{C} \vec{F} \cdot d \vec{r}, onde C é qualquer curva suave ligando o ponto ( 0,0,0 ) ao ponto ( 1, \pi, 2 ).

Passo 1

O enunciado dá o campo vetorial \vec{F}(x,y,z)=\big(e^{x}\cos y+z,\; -e^{x}\sin y,\; x\big) e pede duas coisas: mostrar que \vec{F} é conservativo e calcular \displaystyle\int_{C}\vec{F}\cdot d\vec{r}, onde C é qualquer curva suave ligando os pontos (0,0,0) e (1,\pi,2).
Dados relevantes: as componentes de \vec{F} são
P(x,y,z)=e^{x}\cos y+z,\qquad Q(x,y,z)=-e^{x}\sin y,\qquad R(x,y,z)=x.

Passo 2

O que significa “conservativo” (explicação didática): um campo vetorial \vec{F}=(P,Q,R) é conservativo se existe uma função escalar \varphi(x,y,z) tal que \nabla\varphi=\vec{F}; isto é,
\frac{\partial\varphi}{\partial x}=P,\qquad \frac{\partial\varphi}{\partial y}=Q,\qquad \frac{\partial\varphi}{\partial z}=R.
Uma maneira prática de verificar se \vec{F} tem essa propriedade é calcular o rotacional \nabla\times\vec{F}. Em regiões simplesmente conexas (como \mathbb{R}^3), se \nabla\times\vec{F}=\vec{0} então \vec{F} é conservativo. Vou usar essa ideia porque o domínio aqui é todo o espaço \mathbb{R}^3.

Passo 3

Calculemos o rotacional \nabla\times\vec{F}. A fórmula em componentes é
\nabla\times\vec{F}=\left(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z},\;\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x},\;\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right).
Agora calculamos cada derivada parcial usando as componentes dadas.
  • \displaystyle\frac{\partial R}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}(x)=0.
  • \displaystyle\frac{\partial Q}{\partial z}=\frac{\partial}{\partial z}(-e^{x}\sin y)=0.
    Logo a primeira componente do rotacional é 0-0=0.
  • \displaystyle\frac{\partial P}{\partial z}=\frac{\partial}{\partial z}\big(e^{x}\cos y+z\big)=1.
  • \displaystyle\frac{\partial R}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}(x)=1.
    Logo a segunda componente é 1-1=0.
  • \displaystyle\frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}(-e^{x}\sin y)=-e^{x}\sin y.
  • \displaystyle\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\big(e^{x}\cos y+z\big)=-e^{x}\sin y.
    Logo a terceira componente é -e^{x}\sin y - (-e^{x}\sin y)=0.
Portanto
\nabla\times\vec{F}=\vec{0}.

Passo 4

Conclusão do teste de rotacional (explicação didática curta): como \nabla\times\vec{F}=\vec{0} em todo \mathbb{R}^3 e \mathbb{R}^3 é simplesmente conexo, segue que \vec{F} é conservativo — existe uma potencial \varphi tal que \nabla\varphi=\vec{F}. Agora vamos encontrar essa função potencial explicitamente (útil para calcular integrais de linha).

Passo 5

Método prático para achar a potencial (aula passo a passo): começamos integrando a primeira equação \partial\varphi/\partial x = P em relação a x.
Integramos
\frac{\partial\varphi}{\partial x}=e^{x}\cos y+z
em x, tratando y,z como constantes:
\varphi(x,y,z)=\int\big(e^{x}\cos y+z\big)\,dx = e^{x}\cos y + xz + g(y,z),
onde g(y,z) é uma “constante” de integração que pode depender de y e z (porque diferenciamos apenas em x).

Passo 6

Agora usamos a condição \partial\varphi/\partial y = Q para determinar g. Calculemos \partial\varphi/\partial y a partir da expressão obtida:
\frac{\partial\varphi}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\big(e^{x}\cos y + xz + g(y,z)\big) = -e^{x}\sin y + \frac{\partial g}{\partial y}.
Devemos ter \partial\varphi/\partial y = Q = -e^{x}\sin y. Igualando,
-e^{x}\sin y + \frac{\partial g}{\partial y} = -e^{x}\sin y \quad\Longrightarrow\quad \frac{\partial g}{\partial y}=0.
Isso mostra que g não depende de y, ou seja g(y,z)=h(z) para alguma função h de z apenas.

Passo 7

Usamos agora \partial\varphi/\partial z = R para determinar h(z). Da expressão de \varphi,
\frac{\partial\varphi}{\partial z}=\frac{\partial}{\partial z}\big(e^{x}\cos y + xz + h(z)\big) = x + h'(z).
Devemos ter \partial\varphi/\partial z = R = x. Assim
x + h'(z) = x \quad\Longrightarrow\quad h'(z)=0.
Logo h(z) é constante. Podemos tomar essa constante igual a zero (potencial é determinado até uma constante). Assim escolhemos
\varphi(x,y,z)=e^{x}\cos y + xz.

Passo 8

Cálculo da integral de linha (aplicando o Teorema Fundamental para campos conservativos): para qualquer curva C suave ligando A=(0,0,0) a B=(1,\pi,2),
\int_{C}\vec{F}\cdot d\vec{r}=\varphi(B)-\varphi(A).
Calculemos \varphi nos pontos dados:
\varphi(1,\pi,2)=e^{1}\cos\pi + 1\cdot 2 = e\cdot(-1)+2 = -e+2,
\varphi(0,0,0)=e^{0}\cos 0 + 0\cdot 0 = 1\cdot 1 + 0 = 1.
Portanto
\int_{C}\vec{F}\cdot d\vec{r} = (-e+2) - 1 = 1 - e.

Resposta

\vec{F} é conservativo, com potencial \varphi(x,y,z)=e^{x}\cos y + xz.
\displaystyle\int_{C}\vec{F}\cdot d\vec{r}=1-e

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