Considere o campo vetorial \vec{F}(x, y, z)=\left(2 x y z, x^{2} z, x^{2} y\right). Verifique se \vec{F} é conservativo em \mathbb{R}^{3}. Em caso afirmativo, encontre uma função potencial f(x, y, z) tal que \nabla f=\vec{F}.

Passo 1

O enunciado fornece o campo vetorial \vec{F}(x,y,z)=\left(2xyz,\;x^{2}z,\;x^{2}y\right) e pede duas coisas:
  1. Verificar se \vec{F} é conservativo em \mathbb{R}^{3}.
  2. Caso seja conservativo, encontrar uma função potencial f(x,y,z) tal que \nabla f=\vec{F}.
Informações relevantes dadas:
\vec{F} está definida para todos os pontos de \mathbb{R}^{3} e suas componentes são funções polinomiais (logo suaves).

Passo 2

O que significa ser conservativo e como verificar na prática (explicação didática).
  • Um campo vetorial \vec{F}=(P,Q,R) é conservativo se existe uma função escalar f(x,y,z) tal que \nabla f=\vec{F}, isto é,
\frac{\partial f}{\partial x}=P,\qquad \frac{\partial f}{\partial y}=Q,\qquad \frac{\partial f}{\partial z}=R.
  • Uma verificação prática e comum em \mathbb{R}^{3} é calcular o rotacional (curl) de \vec{F}. Se o rotacional for o vetor nulo em todo o domínio e o domínio for simplesmente conectado (como \mathbb{R}^{3}), então \vec{F} é conservativo (isso vem do Lema de Poincaré).
  • A fórmula do rotacional para \vec{F}=(P,Q,R) é
\nabla\times\vec{F}=\left(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z},\; \frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x},\; \frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right).
Vou calcular esse rotacional passo a passo com P=2xyz, Q=x^{2}z, R=x^{2}y.

Passo 3

Cálculo das derivadas parciais necessárias (mostrando cada uma).
  • Calcule \dfrac{\partial R}{\partial y}:
\frac{\partial}{\partial y}\big(x^{2}y\big)=x^{2}.
  • Calcule \dfrac{\partial Q}{\partial z}:
\frac{\partial}{\partial z}\big(x^{2}z\big)=x^{2}.
  • Portanto a primeira componente do rotacional é
\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z}=x^{2}-x^{2}=0.

Passo 4

Continuo com as outras componentes do rotacional.
  • Calcule \dfrac{\partial P}{\partial z}:
\frac{\partial}{\partial z}\big(2xyz\big)=2xy.
  • Calcule \dfrac{\partial R}{\partial x}:
\frac{\partial}{\partial x}\big(x^{2}y\big)=2xy.
  • Portanto a segunda componente do rotacional é
\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x}=2xy-2xy=0.

Passo 5

Última componente do rotacional.
  • Calcule \dfrac{\partial Q}{\partial x}:
\frac{\partial}{\partial x}\big(x^{2}z\big)=2xz.
  • Calcule \dfrac{\partial P}{\partial y}:
\frac{\partial}{\partial y}\big(2xyz\big)=2xz.
  • Portanto a terceira componente do rotacional é
\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}=2xz-2xz=0.

Passo 6

Conclusão sobre o rotacional e conservatividade.
Juntando as três componentes, obtemos
\nabla\times\vec{F}=(0,0,0).
Como o rotacional é nulo em todo \mathbb{R}^{3} e \mathbb{R}^{3} é simplesmente conectado (não tem “buracos”), pelo resultado padrão (Lema de Poincaré) \vec{F} é conservativo em \mathbb{R}^{3}. Ou seja: existe f tal que \nabla f=\vec{F}.

Passo 7

Método padrão para encontrar a função potencial (explicação e passo a passo).
  • Começamos integrando a primeira igualdade \dfrac{\partial f}{\partial x}=P=2xyz em relação a x, tratando y,z como constantes. Isso nos dá
f(x,y,z)=\int 2xyz\,dx = x^{2}yz + g(y,z),
onde g(y,z) é uma “constante de integração” que pode depender de y e z (porque a integração foi em x). É importante entender: ao integrar em x só podemos perder dependência em x, não em y ou z.

Passo 8

Usar as outras equações para determinar g.
  • Diferencie a expressão obtida para f em relação a y:
\frac{\partial f}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\big(x^{2}yz + g(y,z)\big)=x^{2}z + \frac{\partial g}{\partial y}.
Mas sabemos que \dfrac{\partial f}{\partial y} deve ser igual a Q=x^{2}z. Igualando,
x^{2}z + \frac{\partial g}{\partial y}=x^{2}z \quad\Rightarrow\quad \frac{\partial g}{\partial y}=0.
Isto mostra que g não depende de y; portanto g=g(z).

Passo 9

Determinar a dependência de g em z.
  • Diferencie f em relação a z usando g(z):
\frac{\partial f}{\partial z}=\frac{\partial}{\partial z}\big(x^{2}yz + g(z)\big)=x^{2}y + g'(z).
Mas isso tem que ser igual a R=x^{2}y. Assim
x^{2}y + g'(z)=x^{2}y \quad\Rightarrow\quad g'(z)=0.
Logo g é constante: g(z)=C, onde C é uma constante real.

Passo 10

Escrever a função potencial final e checar (explicação final e verificação rápida).
  • Portanto uma função potencial é
f(x,y,z)=x^{2}yz + C,
onde C é uma constante arbitrária. Para checar, calculemos o gradiente:
\frac{\partial f}{\partial x}=2xyz,\quad \frac{\partial f}{\partial y}=x^{2}z,\quad \frac{\partial f}{\partial z}=x^{2}y,
que coincide com \vec{F}. Observação: a potencial é única até uma constante aditiva, por isso o +C.

Resposta

Sim, \vec{F} é conservativo em \mathbb{R}^{3}.\n \;f(x,y,z)=x^{2}y z + C

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