Considere o campo vetorial
. Verifique se
é conservativo em
. Em caso afirmativo, encontre uma função potencial
tal que
.
Passo 1
O enunciado fornece o campo vetorial
e pede duas coisas:
- Verificar se
é conservativo em . - Caso seja conservativo, encontrar uma função potencial
tal que .
Informações relevantes dadas:
está definida para todos os pontos de
e suas componentes são funções polinomiais (logo suaves).
Passo 2
O que significa ser conservativo e como verificar na prática (explicação didática).
- Um campo vetorial
é conservativo se existe uma função escalar tal que , isto é,
- Uma verificação prática e comum em
é calcular o rotacional (curl) de . Se o rotacional for o vetor nulo em todo o domínio e o domínio for simplesmente conectado (como ), então é conservativo (isso vem do Lema de Poincaré). - A fórmula do rotacional para
é
Vou calcular esse rotacional passo a passo com
,
,
.
Passo 3
Cálculo das derivadas parciais necessárias (mostrando cada uma).
- Calcule
:
- Calcule
:
- Portanto a primeira componente do rotacional é
Passo 4
Continuo com as outras componentes do rotacional.
- Calcule
:
- Calcule
:
- Portanto a segunda componente do rotacional é
Passo 5
Última componente do rotacional.
- Calcule
:
- Calcule
:
- Portanto a terceira componente do rotacional é
Passo 6
Conclusão sobre o rotacional e conservatividade.
Juntando as três componentes, obtemos
Juntando as três componentes, obtemos
Como o rotacional é nulo em todo
e
é simplesmente conectado (não tem “buracos”), pelo resultado padrão (Lema de Poincaré)
é conservativo em
. Ou seja: existe
tal que
.
Passo 7
Método padrão para encontrar a função potencial (explicação e passo a passo).
- Começamos integrando a primeira igualdade
em relação a , tratando como constantes. Isso nos dá
onde
é uma “constante de integração” que pode depender de
e
(porque a integração foi em
). É importante entender: ao integrar em
só podemos perder dependência em
, não em
ou
.
Passo 8
Usar as outras equações para determinar
.
- Diferencie a expressão obtida para
em relação a :
Mas sabemos que
deve ser igual a
. Igualando,
Isto mostra que
não depende de
; portanto
.
Passo 9
Determinar a dependência de
em
.
- Diferencie
em relação a usando :
Mas isso tem que ser igual a
. Assim
Logo
é constante:
, onde
é uma constante real.
Passo 10
Escrever a função potencial final e checar (explicação final e verificação rápida).
- Portanto uma função potencial é
onde
é uma constante arbitrária. Para checar, calculemos o gradiente:
que coincide com
. Observação: a potencial é única até uma constante aditiva, por isso o
.
Resposta
Sim,
é conservativo em
.\n