Seja
, definido em
. Mostre que
, mas explique por que
não é conservativo nesse domínio. Em seguida, compare esse comportamento com o de um campo tridimensional que tenha rotação nula em uma região não simplesmente conexa (ex.:
sem o eixo
).
Passo 1
O enunciado dá o campo vetorial definido em
As tarefas são:
- Mostrar que
. - Explicar por que, apesar dessa igualdade,
não é conservativo no domínio dado. - Comparar esse comportamento com o de um campo tridimensional que tenha rotação nula em uma região não simplesmente conexa (por exemplo,
sem o eixo ).
Todas as informações relevantes do enunciado já estão acima: a expressão de
e o domínio
. A resolução começa no próximo passo.
Passo 2
Calculemos
passo a passo. Primeiro escrevo
Usamos a regra do produto e a regra da cadeia. Derivando em relação a
:
Agora simplificamos termo a termo:
Colocando em um denominador comum
:
Passo 3
Agora calculemos
passo a passo. Escrevo
Derivando em relação a
(regra do produto e cadeia):
Simplificando:
Passo 4
Concluímos algebraicamente que
Aqui dou uma pequena aula sobre por que fizemos isso e o que significa: para um campo vetorial planar
com componentes suficientemente suaves, uma condição necessária para existir uma função potencial
tal que
é
porque se
e
então
(igualdade das derivadas mistas). Mas atenção: essa condição é apenas necessária e, em geral, só é suficiente quando o domínio onde o campo está definido é simplesmente conexo (intuitivamente: não tem “buracos”). No plano,
não é simplesmente conexo — tem um buraco no ponto
— então a igualdade das derivadas mistas pode ocorrer e ainda assim o campo não ser conservativo globalmente.
Passo 5
Para mostrar explicitamente que
não é conservativo no domínio dado, calculemos a integral de linha ao longo de uma curva fechada simples que rodeia a origem (isto detecta se há “circulação” não nula). Tomemos o círculo unitário orientado no sentido anti-horário:
Então
Em pontos do círculo unitário
, assim
O produto escalar
é
Portanto a integral de linha ao redor do círculo vale
Se
fosse conservativo no domínio em que a curva está contida, a integral de linha em qualquer curva fechada seria zero (porque integrando um gradiente ao longo de circuito fechado dá zero). Como aqui a integral fechada é
), concluímos que
não é conservativo em
.
Passo 6
Dou uma explicação didática sobre a intuição: localmente
se parece com o gradiente do ângulo polar
. De fato,
. O problema é que
é uma função multivalorada: ao dar uma volta completa ao redor da origem o valor de
aumenta de
. Não existe uma função contínua
contínua globalmente definida em todo
que seja potencial de
em todo o domínio; só podemos definir um potencial localmente escolhendo uma “corte” (uma linha onde proibimos atravessar, por exemplo o semi-eixo negativo) — aí sim obtemos potential local e integral de caminhos que não rodeiam a origem é zero. O fato topológico é: a origem cria um “buraco” (o domínio não é simplesmente conexo), por isso a condição
não basta para garantir existência de potencial global.
Passo 7
Comparação com o caso tridimensional: estenda o campo para
definindo
ou seja, o mesmo campo no plano
constante, independente de
. Podemos calcular a rotação (curl) de
em qualquer ponto que não esteja no eixo
; as derivadas são as mesmas que no caso planar e a rotação é nula:
Mesmo assim
não é conservativo em
, porque podemos escolher uma curva fechada que rodeia o eixo
(por exemplo, o círculo
) e obter a mesma integral não nula
. O motivo topológico é análogo: remover o eixo
de
produz uma região que não é simplesmente conexa (há “buracos” ao redor do eixo), e em regiões não simplesmente conexas a condição
não garante existência de potencial global. Em contraste, em uma região simplesmente conexa de
(ou
) a condição
(mais as hipóteses de suavidade) é suficiente para garantir que
seja conservativo.
Resposta
Comportamento análogo em 3D: em