Seja \vec{F}(x, y)=\left(\frac{-y}{x^{2}+y^{2}}, \frac{x}{x^{2}+y^{2}}\right), definido em \mathbb{R}^{2} \backslash\{(0,0)\}. Mostre que \frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}, mas explique por que \vec{F} não é conservativo nesse domínio. Em seguida, compare esse comportamento com o de um campo tridimensional que tenha rotação nula em uma região não simplesmente conexa (ex.: \mathbb{R}^{3} sem o eixo z ).

Passo 1

O enunciado dá o campo vetorial definido em \mathbb{R}^{2}\setminus\{(0,0)\}
\vec{F}(x,y)=\left(P(x,y),Q(x,y)\right)=\left(\frac{-y}{x^{2}+y^{2}},\frac{x}{x^{2}+y^{2}}\right).
As tarefas são:
  1. Mostrar que \frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}.
  2. Explicar por que, apesar dessa igualdade, \vec{F} não é conservativo no domínio dado.
  3. Comparar esse comportamento com o de um campo tridimensional que tenha rotação nula em uma região não simplesmente conexa (por exemplo, \mathbb{R}^{3} sem o eixo z).
Todas as informações relevantes do enunciado já estão acima: a expressão de \vec{F} e o domínio \mathbb{R}^{2}\setminus\{(0,0)\}. A resolução começa no próximo passo.

Passo 2

Calculemos \frac{\partial P}{\partial y} passo a passo. Primeiro escrevo
P(x,y)=\frac{-y}{x^{2}+y^{2}}=-y\,(x^{2}+y^{2})^{-1}.
Usamos a regra do produto e a regra da cadeia. Derivando em relação a y:
\frac{\partial P}{\partial y}=-1\cdot (x^{2}+y^{2})^{-1} + (-y)\cdot\bigl(-1\bigr)(x^{2}+y^{2})^{-2}\cdot 2y.
Agora simplificamos termo a termo:
\frac{\partial P}{\partial y}=-\frac{1}{x^{2}+y^{2}} + \frac{2y^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}.
Colocando em um denominador comum (x^{2}+y^{2})^{2}:
\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{-(x^{2}+y^{2}) + 2y^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}} =\frac{-x^{2}-y^{2}+2y^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}} =\frac{-x^{2}+y^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}.

Passo 3

Agora calculemos \frac{\partial Q}{\partial x} passo a passo. Escrevo
Q(x,y)=\frac{x}{x^{2}+y^{2}}=x\,(x^{2}+y^{2})^{-1}.
Derivando em relação a x (regra do produto e cadeia):
\frac{\partial Q}{\partial x}=1\cdot (x^{2}+y^{2})^{-1} + x\cdot(-1)(x^{2}+y^{2})^{-2}\cdot 2x.
Simplificando:
\frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{1}{x^{2}+y^{2}} - \frac{2x^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}} =\frac{x^{2}+y^{2}-2x^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}} =\frac{-x^{2}+y^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}.

Passo 4

Concluímos algebraicamente que
\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{-x^{2}+y^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}=\frac{\partial Q}{\partial x}.
Aqui dou uma pequena aula sobre por que fizemos isso e o que significa: para um campo vetorial planar \vec{F}=(P,Q) com componentes suficientemente suaves, uma condição necessária para existir uma função potencial \varphi tal que \vec{F}=\nabla\varphi é
\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x},
porque se P=\phi_x e Q=\phi_y então \phi_{xy}=\phi_{yx} (igualdade das derivadas mistas). Mas atenção: essa condição é apenas necessária e, em geral, só é suficiente quando o domínio onde o campo está definido é simplesmente conexo (intuitivamente: não tem “buracos”). No plano, \mathbb{R}^{2}\setminus\{(0,0)\} não é simplesmente conexo — tem um buraco no ponto (0,0) — então a igualdade das derivadas mistas pode ocorrer e ainda assim o campo não ser conservativo globalmente.

Passo 5

Para mostrar explicitamente que \vec{F} não é conservativo no domínio dado, calculemos a integral de linha ao longo de uma curva fechada simples que rodeia a origem (isto detecta se há “circulação” não nula). Tomemos o círculo unitário orientado no sentido anti-horário:
\gamma(t)=(\cos t,\sin t),\qquad t\in[0,2\pi].
Então
\gamma'(t)=(-\sin t,\cos t).
Em pontos do círculo unitário x^{2}+y^{2}=1, assim
\vec{F}(\gamma(t))=\left(\frac{-\sin t}{1},\frac{\cos t}{1}\right)=(-\sin t,\cos t).
O produto escalar \vec{F}\cdot \gamma' é
\vec{F}(\gamma(t))\cdot\gamma'(t)=(-\sin t)(-\sin t)+(\cos t)(\cos t)=\sin^{2}t+\cos^{2}t=1.
Portanto a integral de linha ao redor do círculo vale
\oint_{\gamma}\vec{F}\cdot d\vec{r}=\int_{0}^{2\pi}1\,dt=2\pi\neq 0.
Se \vec{F} fosse conservativo no domínio em que a curva está contida, a integral de linha em qualquer curva fechada seria zero (porque integrando um gradiente ao longo de circuito fechado dá zero). Como aqui a integral fechada é \(2\pi), concluímos que \vec{F} não é conservativo em \mathbb{R}^{2}\setminus\{(0,0)\}.

Passo 6

Dou uma explicação didática sobre a intuição: localmente \vec{F} se parece com o gradiente do ângulo polar \theta=\arctan(y/x). De fato, \nabla\theta=( -y/(x^{2}+y^{2}),\; x/(x^{2}+y^{2}) )=\vec{F}. O problema é que \theta é uma função multivalorada: ao dar uma volta completa ao redor da origem o valor de \theta aumenta de 2\pi. Não existe uma função contínua \theta contínua globalmente definida em todo \mathbb{R}^{2}\setminus\{(0,0)\} que seja potencial de \vec{F} em todo o domínio; só podemos definir um potencial localmente escolhendo uma “corte” (uma linha onde proibimos atravessar, por exemplo o semi-eixo negativo) — aí sim obtemos potential local e integral de caminhos que não rodeiam a origem é zero. O fato topológico é: a origem cria um “buraco” (o domínio não é simplesmente conexo), por isso a condição \partial P/\partial y=\partial Q/\partial x não basta para garantir existência de potencial global.

Passo 7

Comparação com o caso tridimensional: estenda o campo para \mathbb{R}^{3}\setminus\{z\text{-axis}\} definindo
\vec{G}(x,y,z)=\left(\frac{-y}{x^{2}+y^{2}},\frac{x}{x^{2}+y^{2}},0\right),
ou seja, o mesmo campo no plano z= constante, independente de z. Podemos calcular a rotação (curl) de \vec{G} em qualquer ponto que não esteja no eixo z; as derivadas são as mesmas que no caso planar e a rotação é nula:
\nabla\times\vec{G}=\vec{0}\qquad\text{em }\mathbb{R}^{3}\setminus\{\text{eixo }z\}.
Mesmo assim \vec{G} não é conservativo em \mathbb{R}^{3}\setminus\{\text{eixo }z\}, porque podemos escolher uma curva fechada que rodeia o eixo z (por exemplo, o círculo (\cos t,\sin t,0)) e obter a mesma integral não nula \int \vec{G}\cdot d\vec r=2\pi. O motivo topológico é análogo: remover o eixo z de \mathbb{R}^{3} produz uma região que não é simplesmente conexa (há “buracos” ao redor do eixo), e em regiões não simplesmente conexas a condição \nabla\times\vec{G}=\vec{0} não garante existência de potencial global. Em contraste, em uma região simplesmente conexa de \mathbb{R}^{3} (ou \mathbb{R}^{2}) a condição \nabla\times\vec{F}=\vec{0} (mais as hipóteses de suavidade) é suficiente para garantir que \vec{F} seja conservativo.

Resposta

\displaystyle \frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{-x^{2}+y^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}.\n
\displaystyle \vec{F} não é conservativo em \mathbb{R}^{2}\setminus\{(0,0)\} porque a integral em torno do círculo unitário é \displaystyle \oint \vec{F}\cdot d\vec r=2\pi\neq 0; isso decorre do fato topológico de que o domínio não é simplesmente conexo (o potencial \theta é multivalorado). \n
Comportamento análogo em 3D: em \mathbb{R}^{3}\setminus\{\text{eixo }z\} existe campo com \nabla\times\vec{G}=\vec{0} (por exemplo \vec{G}=( -y/(x^{2}+y^{2}),\,x/(x^{2}+y^{2}),\,0)) que não é conservativo porque a região não é simplesmente conexa; em regiões simplesmente conexas a condição \nabla\times\vec{F}=\vec{0} implica conservatividade.

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