Seja f(x, y, z)=\frac{1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}}, definida em \mathbb{R}^{3} \backslash\{(0,0,0)\}. Calcule o campo vetorial \vec{F}=\nabla f e verifique se ele é conservativo. Explique por que, apesar de o domínio não ser simplesmente conexo, o campo ainda admite uma função potencial.

Bloco 2: Teorema de Green

Passo 1

O enunciado dá a função \displaystyle f(x,y,z)=\frac{1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}} definida em \mathbb{R}^{3}\setminus\{(0,0,0)\}. As perguntas são: calcular o campo vetorial \vec{F}=\nabla f, verificar se esse campo é conservativo e explicar por que, apesar de (segundo o enunciado) o domínio não ser simplesmente conexo, o campo ainda admite uma função potencial. Informações relevantes dadas: a expressão explícita de f e o domínio (todas as pontos exceto a origem).

Passo 2

Para facilitar as derivadas, introduzo a notação
\displaystyle r=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}.
Assim podemos reescrever
\displaystyle f(x,y,z)=\frac{1}{r}=r^{-1}.
Isto é útil porque as derivadas parciais de f são obtidas aplicando a regra da cadeia a uma potência de r. Vou calcular as derivadas parciais uma a uma, explicando cada passo.

Passo 3

Calculo de \displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}. Começo escrevendo f=r^{-1}. Pela regra da cadeia,
\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x} = -1\cdot r^{-2}\cdot \frac{\partial r}{\partial x}.
Agora preciso de \displaystyle \frac{\partial r}{\partial x}. Como r=(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{1/2}, aplico a regra da cadeia novamente:
\displaystyle \frac{\partial r}{\partial x}=\frac{1}{2}(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{-1/2}\cdot 2x = \frac{x}{r}.
Substituindo em \frac{\partial f}{\partial x} obtemos
\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x} = -r^{-2}\cdot \frac{x}{r} = -\frac{x}{r^{3}}.

Passo 4

Calculo de \displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}. Pelo mesmo raciocínio que no passo anterior, trocando x por y, temos
\displaystyle \frac{\partial f}{\partial y} = -\frac{y}{r^{3}}.

Passo 5

Calculo de \displaystyle \frac{\partial f}{\partial z}. Análogo:
\displaystyle \frac{\partial f}{\partial z} = -\frac{z}{r^{3}}.

Passo 6

Agora monto o gradiente a partir das parciais. Por definição,
\displaystyle \vec{F}=\nabla f=\left(\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y},\frac{\partial f}{\partial z}\right).
Substituindo as derivadas obtidas:
\displaystyle \vec{F}(x,y,z) = -\frac{1}{r^{3}}(x,y,z).
Em forma explícita,
\displaystyle \vec{F}(x,y,z)=\left(-\frac{x}{(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{3/2}},\,-\frac{y}{(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{3/2}},\,-\frac{z}{(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{3/2}}\right).

Passo 7

Verificação de regularidade: a função f=r^{-1} é C^{\infty} em todo ponto do domínio \mathbb{R}^{3}\setminus\{0\} (a origem é o único ponto de singularidade). Portanto as derivadas parciais de segunda ordem são contínuas no domínio. Isso permite usar resultados padrão sobre operadores vetoriais (como o rotor/curl).

Passo 8

Verificação de que \vec{F} é conservativo. Há duas maneiras claras de ver isso:
  1. Identidade geral: para qualquer função f de classe C^{2}, vale a identidade
\displaystyle \nabla\times(\nabla f)=\vec{0}.
Como aqui \vec{F}=\nabla f e f é C^{2} no domínio, segue imediatamente que \nabla\times\vec{F}=\vec{0} em \mathbb{R}^{3}\setminus\{0\}. Isso já mostra que \vec{F} é irrotacional.
  1. Verificação direta (para ficar mais concreto): escrevendo F_x=-x r^{-3}, F_y=-y r^{-3}, F_z=-z r^{-3}, calculo um componente do rotor, por exemplo o primeiro,
\displaystyle (\nabla\times\vec{F})_x=\frac{\partial F_z}{\partial y}-\frac{\partial F_y}{\partial z}.
Cada derivada dá (usando \partial r/\partial y = y/r etc.)
\displaystyle \frac{\partial F_z}{\partial y} = -z\frac{\partial}{\partial y}(r^{-3}) = -z(-3)r^{-5}\frac{y}{r}=3\frac{yz}{r^{6}},
\displaystyle \frac{\partial F_y}{\partial z} = -y\frac{\partial}{\partial z}(r^{-3}) = -y(-3)r^{-5}\frac{z}{r}=3\frac{yz}{r^{6}}.
Logo (\nabla\times\vec{F})_x=0. Os outros componentes são idênticos por simetria e também dão zero. Portanto \nabla\times\vec{F}=\vec{0}.
Ter \nabla\times\vec{F}=\vec{0} e \vec{F}=\nabla f confirma que \vec{F} é um campo conservativo (tem potencial).

Passo 9

Explicação por que existe potencial mesmo que o enunciado diga que o domínio não é simplesmente conexo. Aqui estão os pontos-chave, explicados devagar:
  • Teorema usual: se um campo vetorial \vec{G} é definido num domínio simplesmente conexo e \nabla\times\vec{G}=\vec{0}, então \vec{G} admite função potencial globalmente. Ou seja, numa região sem “buracos” a condição curl nulo é suficiente para garantir existência de potencial.
  • Porém, essa condição é apenas suficiente, não necessária. Se já tivermos uma função escalar h definida globalmente no domínio tal que \nabla h=\vec{G}, então \vec{G} tem potencial — independentemente da topologia do domínio. Ou seja, a existência explícita do escalar é um argumento direto e definitivo.
  • No nosso caso não há ambiguidade: começamos com a função escalar f(x,y,z)=1/r definida em todo \mathbb{R}^{3}\setminus\{0\} e mostramos que \vec{F}=\nabla f. Portanto f é a função potencial de \vec{F}. Isso resolve imediatamente a questão da existência do potencial — não precisamos depender do teorema que exige simplesmente conectividade.
  • Observação pedagógica: a necessidade da condição de simplesmente conectividade aparece quando tentamos inverter o processo apenas a partir de \vec{G} e da informação \nabla\times\vec{G}=\vec{0} (ou seja, quando não temos um candidato explícito a potencial). Em domínios com buracos pode ocorrer que \nabla\times\vec{G}=0 mas \vec{G} não seja gradiente globalmente (um exemplo clássico em \mathbb{R}^{2}\setminus\{0\} é o campo \displaystyle \left(-\frac{y}{x^{2}+y^{2}},\frac{x}{x^{2}+y^{2}}\right)). Aqui, porém, não existe esse problema porque já temos o f explícito.

Passo 10

Consequência prática para provas: se você derreteu o enunciado e souber que um campo é o gradiente de uma função escalar conhecida, pode imediatamente usar o Teorema Fundamental do Cálculo para linhas: para qualquer caminho \gamma de A até B contido no domínio,
\displaystyle \int_{\gamma}\vec{F}\cdot d\vec{r}=f(B)-f(A).
Isso mostra independência de caminho e é a forma mais prática de usar que \vec{F} é conservativo na hora da prova.

Resposta

\displaystyle \vec{F}(x,y,z)=\nabla f(x,y,z)=-\frac{1}{(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{3/2}}(x,y,z)
Sim, \vec{F} é conservativo; uma função potencial é \displaystyle f(x,y,z)=\frac{1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}}.

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