Seja
, definida em
. Calcule o campo vetorial
e verifique se ele é conservativo. Explique por que, apesar de o domínio não ser simplesmente conexo, o campo ainda admite uma função potencial.
Bloco 2: Teorema de Green
Passo 1
O enunciado dá a função
definida em
. As perguntas são: calcular o campo vetorial
, verificar se esse campo é conservativo e explicar por que, apesar de (segundo o enunciado) o domínio não ser simplesmente conexo, o campo ainda admite uma função potencial. Informações relevantes dadas: a expressão explícita de
e o domínio (todas as pontos exceto a origem).
Passo 2
Para facilitar as derivadas, introduzo a notação
Assim podemos reescrever
Isto é útil porque as derivadas parciais de
são obtidas aplicando a regra da cadeia a uma potência de
. Vou calcular as derivadas parciais uma a uma, explicando cada passo.
Passo 3
Calculo de
. Começo escrevendo
. Pela regra da cadeia,
Agora preciso de
. Como
, aplico a regra da cadeia novamente:
Substituindo em
obtemos
Passo 4
Calculo de
. Pelo mesmo raciocínio que no passo anterior, trocando
por
, temos
Passo 5
Calculo de
. Análogo:
Passo 6
Agora monto o gradiente a partir das parciais. Por definição,
Substituindo as derivadas obtidas:
Em forma explícita,
Passo 7
Verificação de regularidade: a função
é
em todo ponto do domínio
(a origem é o único ponto de singularidade). Portanto as derivadas parciais de segunda ordem são contínuas no domínio. Isso permite usar resultados padrão sobre operadores vetoriais (como o rotor/curl).
Passo 8
Verificação de que
é conservativo. Há duas maneiras claras de ver isso:
- Identidade geral: para qualquer função
de classe , vale a identidade
Como aqui
e
é
no domínio, segue imediatamente que
em
. Isso já mostra que
é irrotacional.
- Verificação direta (para ficar mais concreto): escrevendo
, , , calculo um componente do rotor, por exemplo o primeiro,
Cada derivada dá (usando
etc.)
Logo
. Os outros componentes são idênticos por simetria e também dão zero. Portanto
.
Ter
e
confirma que
é um campo conservativo (tem potencial).
Passo 9
Explicação por que existe potencial mesmo que o enunciado diga que o domínio não é simplesmente conexo. Aqui estão os pontos-chave, explicados devagar:
-
Teorema usual: se um campo vetorial
é definido num domínio simplesmente conexo e , então admite função potencial globalmente. Ou seja, numa região sem “buracos” a condição curl nulo é suficiente para garantir existência de potencial. -
Porém, essa condição é apenas suficiente, não necessária. Se já tivermos uma função escalar
definida globalmente no domínio tal que , então tem potencial — independentemente da topologia do domínio. Ou seja, a existência explícita do escalar é um argumento direto e definitivo. -
No nosso caso não há ambiguidade: começamos com a função escalar
definida em todo e mostramos que . Portanto é a função potencial de . Isso resolve imediatamente a questão da existência do potencial — não precisamos depender do teorema que exige simplesmente conectividade. -
Observação pedagógica: a necessidade da condição de simplesmente conectividade aparece quando tentamos inverter o processo apenas a partir de
e da informação (ou seja, quando não temos um candidato explícito a potencial). Em domínios com buracos pode ocorrer que mas não seja gradiente globalmente (um exemplo clássico em é o campo ). Aqui, porém, não existe esse problema porque já temos o explícito.
Passo 10
Consequência prática para provas: se você derreteu o enunciado e souber que um campo é o gradiente de uma função escalar conhecida, pode imediatamente usar o Teorema Fundamental do Cálculo para linhas: para qualquer caminho
de
até
contido no domínio,
Isso mostra independência de caminho e é a forma mais prática de usar que
é conservativo na hora da prova.
Resposta
Sim,