Considere \vec{F}(x, y, z)=(x y, y z, z x). Calcule \oint_{C} \vec{F} \cdot d \vec{r}, onde C é o triângulo com vértices em (1,0,0),(0,1,0) e (0,0,1), percorrido no sentido anti-horário quando visto da origem.
Passo 1
O enunciado dá a campo vetorial \vec{F}(x,y,z)=(x y,\, y z,\, z x) e a curva C que é o triângulo com vértices em (1,0,0), (0,1,0) e (0,0,1). O triângulo é percorrido no sentido anti-horário quando visto da origem. A tarefa é calcular a integral de linha
\oint_{C} \vec{F}\cdot d\vec r.
Informações relevantes listadas:
Campo: \vec{F}(x,y,z)=(x y,\, y z,\, z x).
Curva C: triângulo com vértices (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1).
Orientação: anti-horário visto da origem (isto define a orientação do contorno para aplicar teoremas).
Objetivo: encontrar o valor numérico de \displaystyle \oint_{C} \vec{F}\cdot d\vec r.
Passo 2
Escolha do método. Não há indicação obrigatória de método no enunciado. Podemos calcular a integral de linha diretamente somando três integrais ao longo dos lados (parametrizando retas), ou aplicar o Teorema de Stokes que transforma a integral de linha numa integral de superfície do rotacional. Aqui é mais eficiente usar o Teorema de Stokes porque a superfície natural é o próprio triângulo no plano \,x+y+z=1 e o rotacional do campo é simples, tornando a integral de superfície fácil (fica até constante). Vou usar Stokes.
Passo 3
Enunciado do Teorema de Stokes e interpretação.
O Teorema de Stokes afirma:
\nabla\times\vec F é o rotacional (curl) de \vec F,
S é uma superfície orientada cujo contorno é C,
\vec n é o versor normal à superfície S, escolhido de modo consistente com a orientação de C pela regra da mão direita,
dS é o elemento de área em S.
Interpretação da orientação: o enunciado diz que C é percorrido anti-horário quando visto da origem. Se a curva parece anti-horária para um observador, então o versor normal deve apontar neste observador (pela regra da mão direita). Portanto precisamos escolher \vec n apontando em direção ao observador — aqui, em direção à origem. O triângulo está no plano \,x+y+z=1; um vetor normal natural desse plano é (1,1,1). O vetor apontando para a origem é o oposto: (-1,-1,-1). Assim usaremos o versor normal \vec n=\dfrac{(-1,-1,-1)}{\sqrt{3}}.
Passo 4
Calcular o rotacional \nabla\times\vec F. Para \vec F=(F_1,F_2,F_3)=(xy,\,yz,\,zx) o rotacional tem componentes
\dfrac{\partial F_3}{\partial y}=\dfrac{\partial (z x)}{\partial y}=0 e \dfrac{\partial F_2}{\partial z}=\dfrac{\partial (y z)}{\partial z}=y. Então primeira componente = 0-y=-y.
\dfrac{\partial F_1}{\partial z}=\dfrac{\partial (x y)}{\partial z}=0 e \dfrac{\partial F_3}{\partial x}=\dfrac{\partial (z x)}{\partial x}=z. Então segunda componente = 0-z=-z.
\dfrac{\partial F_2}{\partial x}=\dfrac{\partial (y z)}{\partial x}=0 e \dfrac{\partial F_1}{\partial y}=\dfrac{\partial (x y)}{\partial y}=x. Então terceira componente = 0-x=-x.
Portanto
\nabla\times\vec F = (-y,\,-z,\,-x).
Passo 5
Escolher a superfície S e o versor normal \vec n. Tomamos S como o triângulo plano limitado por C, que está no plano
x+y+z=1.
Um vetor normal ao plano é (1,1,1). Como explicado no Passo 3, a orientação pedida (anti-horário visto da origem) exige que o versor normal aponte em direção à origem; portanto escolhemos
\vec n=\frac{(-1,-1,-1)}{\sqrt{3}}.
Passo 6
Calcular o produto escalar (\nabla\times\vec F)\cdot \vec n. Temos
(\nabla\times\vec F)\cdot\vec n = (-y,-z,-x)\cdot\frac{(-1,-1,-1)}{\sqrt{3}} =\frac{y+z+x}{\sqrt{3}}.
Mas na superfície S vale \,x+y+z=1. Logo, sobre S a quantidade acima é constante:
(\nabla\times\vec F)\cdot\vec n=\frac{1}{\sqrt{3}}\quad\text{(constante em }S).
Passo 7
Calcular a área do triângulo S. Usamos vetores lado a lado a partir do vértice A=(1,0,0):