Considere \vec{F}(x, y, z)=(x y, y z, z x). Calcule \oint_{C} \vec{F} \cdot d \vec{r}, onde C é o triângulo com vértices em (1,0,0),(0,1,0) e (0,0,1), percorrido no sentido anti-horário quando visto da origem.

Passo 1

O enunciado dá a campo vetorial \vec{F}(x,y,z)=(x y,\, y z,\, z x) e a curva C que é o triângulo com vértices em (1,0,0), (0,1,0) e (0,0,1). O triângulo é percorrido no sentido anti-horário quando visto da origem. A tarefa é calcular a integral de linha
\oint_{C} \vec{F}\cdot d\vec r.
Informações relevantes listadas:
  • Campo: \vec{F}(x,y,z)=(x y,\, y z,\, z x).
  • Curva C: triângulo com vértices (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1).
  • Orientação: anti-horário visto da origem (isto define a orientação do contorno para aplicar teoremas).
  • Objetivo: encontrar o valor numérico de \displaystyle \oint_{C} \vec{F}\cdot d\vec r.

Passo 2

Escolha do método. Não há indicação obrigatória de método no enunciado. Podemos calcular a integral de linha diretamente somando três integrais ao longo dos lados (parametrizando retas), ou aplicar o Teorema de Stokes que transforma a integral de linha numa integral de superfície do rotacional. Aqui é mais eficiente usar o Teorema de Stokes porque a superfície natural é o próprio triângulo no plano \,x+y+z=1 e o rotacional do campo é simples, tornando a integral de superfície fácil (fica até constante). Vou usar Stokes.

Passo 3

Enunciado do Teorema de Stokes e interpretação.
O Teorema de Stokes afirma:
\oint_{C}\vec F\cdot d\vec r=\iint_{S}(\nabla\times\vec F)\cdot\vec n\,dS,
onde:
  • \nabla\times\vec F é o rotacional (curl) de \vec F,
  • S é uma superfície orientada cujo contorno é C,
  • \vec n é o versor normal à superfície S, escolhido de modo consistente com a orientação de C pela regra da mão direita,
  • dS é o elemento de área em S.
Interpretação da orientação: o enunciado diz que C é percorrido anti-horário quando visto da origem. Se a curva parece anti-horária para um observador, então o versor normal deve apontar neste observador (pela regra da mão direita). Portanto precisamos escolher \vec n apontando em direção ao observador — aqui, em direção à origem. O triângulo está no plano \,x+y+z=1; um vetor normal natural desse plano é (1,1,1). O vetor apontando para a origem é o oposto: (-1,-1,-1). Assim usaremos o versor normal \vec n=\dfrac{(-1,-1,-1)}{\sqrt{3}}.

Passo 4

Calcular o rotacional \nabla\times\vec F. Para \vec F=(F_1,F_2,F_3)=(xy,\,yz,\,zx) o rotacional tem componentes
\nabla\times\vec F=\left(\frac{\partial F_3}{\partial y}-\frac{\partial F_2}{\partial z},\;\frac{\partial F_1}{\partial z}-\frac{\partial F_3}{\partial x},\;\frac{\partial F_2}{\partial x}-\frac{\partial F_1}{\partial y}\right).
Calculando cada derivada:
  • \dfrac{\partial F_3}{\partial y}=\dfrac{\partial (z x)}{\partial y}=0 e \dfrac{\partial F_2}{\partial z}=\dfrac{\partial (y z)}{\partial z}=y. Então primeira componente = 0-y=-y.
  • \dfrac{\partial F_1}{\partial z}=\dfrac{\partial (x y)}{\partial z}=0 e \dfrac{\partial F_3}{\partial x}=\dfrac{\partial (z x)}{\partial x}=z. Então segunda componente = 0-z=-z.
  • \dfrac{\partial F_2}{\partial x}=\dfrac{\partial (y z)}{\partial x}=0 e \dfrac{\partial F_1}{\partial y}=\dfrac{\partial (x y)}{\partial y}=x. Então terceira componente = 0-x=-x.
Portanto
\nabla\times\vec F = (-y,\,-z,\,-x).

Passo 5

Escolher a superfície S e o versor normal \vec n. Tomamos S como o triângulo plano limitado por C, que está no plano
x+y+z=1.
Um vetor normal ao plano é (1,1,1). Como explicado no Passo 3, a orientação pedida (anti-horário visto da origem) exige que o versor normal aponte em direção à origem; portanto escolhemos
\vec n=\frac{(-1,-1,-1)}{\sqrt{3}}.

Passo 6

Calcular o produto escalar (\nabla\times\vec F)\cdot \vec n. Temos
(\nabla\times\vec F)\cdot\vec n = (-y,-z,-x)\cdot\frac{(-1,-1,-1)}{\sqrt{3}} =\frac{y+z+x}{\sqrt{3}}.
Mas na superfície S vale \,x+y+z=1. Logo, sobre S a quantidade acima é constante:
(\nabla\times\vec F)\cdot\vec n=\frac{1}{\sqrt{3}}\quad\text{(constante em }S).

Passo 7

Calcular a área do triângulo S. Usamos vetores lado a lado a partir do vértice A=(1,0,0):
\vec v_1 = B-A = (0,1,0)-(1,0,0)=(-1,1,0),
\vec v_2 = C-A = (0,0,1)-(1,0,0)=(-1,0,1).
A área do triângulo é
\text{Area}(S)=\frac{1}{2}\|\vec v_1\times\vec v_2\|.
Calculando o produto vetorial:
\vec v_1\times\vec v_2 = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\\\ -1 & 1 & 0 \\\\ -1 & 0 & 1 \end{vmatrix} =(1\cdot 1 - 0\cdot 0)\,\mathbf{i} -( -1\cdot 1 - 0\cdot(-1))\,\mathbf{j} +(-1\cdot 0 - 1\cdot(-1))\,\mathbf{k}.
Simplificando os componentes (ou fazendo componente a componente):
\vec v_1\times\vec v_2=(1,\,1,\,1).
O módulo é \|\vec v_1\times\vec v_2\|=\sqrt{1^2+1^2+1^2}=\sqrt{3}. Assim
\text{Area}(S)=\frac{1}{2}\sqrt{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}.

Passo 8

Avaliar a integral de superfície pela constância do integrando. Como (\nabla\times\vec F)\cdot\vec n=1/\sqrt{3} sobre S, temos
\iint_{S}(\nabla\times\vec F)\cdot\vec n\,dS=\frac{1}{\sqrt{3}}\cdot \text{Area}(S) =\frac{1}{\sqrt{3}}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{1}{2}.
Pelo Teorema de Stokes isso é igual a \displaystyle \oint_{C}\vec F\cdot d\vec r.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{2}

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