Seja
a porção do paraboloide
acima do plano
, com bordo
. Considere
. Calcule
usando o Teorema de Stokes.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa bem clara.
- Superfície
: porção do paraboloide que está acima do plano (ou seja, com ). - Bordo
: a curva de interseção de com o plano . - Campo vetorial
. - Pedido: calcular
usando o Teorema de Stokes.
Passo 2
Lembrete da ferramenta que vamos usar: o Teorema de Stokes afirma que, para uma superfície orientada
com bordo
orientado consistentemente,
Aqui
é o rotacional (curl) de
,
é o vetor normal unitário orientado de
e
é o elemento de área da superfície. Vou escolher a orientação normal para cima (vetor com componente
); com essa escolha, a orientação de
será anti-horária vista de cima (regra da mão direita).
Passo 3
Calcular o rotacional
. A fórmula componente a componente é
Substituindo
:
Portanto
Passo 4
Transformar a integral de superfície
num integral sobre a projeção no plano
. Como
é gráfico de
, existe uma fórmula prática:
onde
,
e
é o elemento de área no plano
. Aqui explicando:
é um vetor que aponta para cima quando escolhemos orientação para cima, e multiplicando por
dá a contribuição de área projetada no
.
Calculemos
e
:
Assim
Passo 5
Como
, o produto escalar com
é
Ou seja, a integranda fica constante
sobre a projeção
de
no plano
. Portanto
Passo 6
Identificar a região
: é a projeção de
no plano
, ou seja a região onde
. Isso implica
: um disco de raio
.
Calcule a área do disco usando coordenadas polares. Em polares
, temos
, com
e
. Assim
Passo 7
Voltando à integral original: