Seja S a porção do paraboloide z=4-x^{2}-y^{2} acima do plano x y, com bordo C. Considere \vec{F}(x, y, z)=\left(-y, x, z^{2}\right). Calcule \oint_{C} \vec{F} \cdot d \vec{r} usando o Teorema de Stokes.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa bem clara.
  • Superfície S: porção do paraboloide \;z=4-x^{2}-y^{2}\; que está acima do plano xy (ou seja, com z\ge 0).
  • Bordo C: a curva de interseção de S com o plano z=0.
  • Campo vetorial \displaystyle \vec{F}(x,y,z)=\left(-y,\,x,\,z^{2}\right).
  • Pedido: calcular \displaystyle \oint_{C}\vec{F}\cdot d\vec{r} usando o Teorema de Stokes.

Passo 2

Lembrete da ferramenta que vamos usar: o Teorema de Stokes afirma que, para uma superfície orientada S com bordo C orientado consistentemente,
\oint_{C}\vec{F}\cdot d\vec{r}=\iint_{S}(\nabla\times\vec{F})\cdot\vec{n}\,dS.
Aqui \nabla\times\vec{F} é o rotacional (curl) de \vec{F}, \vec{n} é o vetor normal unitário orientado de S e dS é o elemento de área da superfície. Vou escolher a orientação normal para cima (vetor com componente z>0); com essa escolha, a orientação de C será anti-horária vista de cima (regra da mão direita).

Passo 3

Calcular o rotacional \nabla\times\vec{F}. A fórmula componente a componente é
\nabla\times\vec{F}=\left(\frac{\partial}{\partial y}F_{3}-\frac{\partial}{\partial z}F_{2},\;\frac{\partial}{\partial z}F_{1}-\frac{\partial}{\partial x}F_{3},\;\frac{\partial}{\partial x}F_{2}-\frac{\partial}{\partial y}F_{1}\right).
Substituindo F_{1}=-y,\;F_{2}=x,\;F_{3}=z^{2}:
\begin{aligned} (\nabla\times\vec{F})_{1}&=\frac{\partial}{\partial y}(z^{2})-\frac{\partial}{\partial z}(x)=0-0=0,\\[4pt] (\nabla\times\vec{F})_{2}&=\frac{\partial}{\partial z}(-y)-\frac{\partial}{\partial x}(z^{2})=0-0=0,\\[4pt] (\nabla\times\vec{F})_{3}&=\frac{\partial}{\partial x}(x)-\frac{\partial}{\partial y}(-y)=1-(-1)=2. \end{aligned}
Portanto
\nabla\times\vec{F}=(0,0,2)=2\,\mathbf{k}.]

Passo 4

Transformar a integral de superfície \iint_{S}(\nabla\times\vec{F})\cdot\vec{n}\,dS num integral sobre a projeção no plano xy. Como S é gráfico de \;z=f(x,y)=4-x^{2}-y^{2}\;, existe uma fórmula prática:
\vec{n}\,dS = (-f_{x},-f_{y},1)\,dA,
onde f_{x}=\dfrac{\partial f}{\partial x}, f_{y}=\dfrac{\partial f}{\partial y} e dA é o elemento de área no plano xy. Aqui explicando: (-f_x,-f_y,1) é um vetor que aponta para cima quando escolhemos orientação para cima, e multiplicando por dA dá a contribuição de área projetada no xy.
Calculemos f_{x} e f_{y}:
f_{x}=\frac{\partial}{\partial x}(4-x^{2}-y^{2})=-2x,\qquad f_{y}=\frac{\partial}{\partial y}(4-x^{2}-y^{2})=-2y.
Assim
\vec{n}\,dS=(2x,2y,1)\,dA.

Passo 5

Como \nabla\times\vec{F}=2\,\mathbf{k}=(0,0,2), o produto escalar com \vec{n}\,dS é
(\nabla\times\vec{F})\cdot\vec{n}\,dS=2\,\mathbf{k}\cdot (2x,2y,1)\,dA = 2\cdot 1\,dA = 2\,dA.
Ou seja, a integranda fica constante 2 sobre a projeção D de S no plano xy. Portanto
\oint_{C}\vec{F}\cdot d\vec{r}=\iint_{S}(\nabla\times\vec{F})\cdot\vec{n}\,dS = \iint_{D} 2\,dA = 2\iint_{D} dA.

Passo 6

Identificar a região D: é a projeção de S no plano xy, ou seja a região onde z=4-x^{2}-y^{2}\ge 0. Isso implica x^{2}+y^{2}\le 4: um disco de raio 2.
Calcule a área do disco usando coordenadas polares. Em polares (r,\theta), temos dA=r\,dr\,d\theta, com 0\le r\le 2 e 0\le\theta\le 2\pi. Assim
\iint_{D} dA=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{2} r\,dr\,d\theta =\int_{0}^{2\pi}\left[\frac{r^{2}}{2}\right]_{0}^{2} d\theta =\int_{0}^{2\pi} \frac{4}{2}\,d\theta =\int_{0}^{2\pi}2\,d\theta = 4\pi.

Passo 7

Voltando à integral original:
\oint_{C}\vec{F}\cdot d\vec{r} = 2\iint_{D} dA = 2\cdot 4\pi = 8\pi.

Resposta

8\pi

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