Use o Teorema da Divergência para calcular o fluxo do campo \vec{F}(x, y, z)=\left(x^{3}, y^{3}, z^{3}\right) através da superfície da esfera x^{2}+y^{2}+z^{2}=9, orientada para fora.
Passo 1
O enunciado pede o fluxo do campo \vec{F}(x,y,z)=\left(x^{3},y^{3},z^{3}\right) através da superfície da esfera x^{2}+y^{2}+z^{2}=9, orientada para fora. Informações dadas e objetivos claros:
Campo vetorial: \vec{F}(x,y,z)=\left(x^{3},y^{3},z^{3}\right).
Superfície: esfera de raio 3 (porque x^{2}+y^{2}+z^{2}=9 implica raio 3), superfície fechada e orientada para fora.
Pergunta: calcular o fluxo de \vec{F} através dessa superfície fechada (isto é, \iint_{S}\vec{F}\cdot\vec{n}\,dS, onde S é a superfície da esfera orientada para fora).
Passo 2
Apresento a ferramenta que vamos usar: o Teorema da Divergência (também chamado Teorema de Gauss). Ele diz o seguinte:
Intuição rápida: o teorema transforma um fluxo sobre a superfície em uma integral tripla sobre o volume interior — muitas vezes isso simplifica muito o cálculo.
Passo 3
Calculo a divergência do campo dado. Temos \vec{F}(x,y,z)=\left(x^{3},y^{3},z^{3}\right), então:
onde V é a bola sólida de raio 3, isto é V=\{(x,y,z)\mid x^{2}+y^{2}+z^{2}\le 9\}.
Para calcular essa integral tripla vamos usar coordenadas esféricas, porque a integranda depende apenas de r^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2} e o domínio é uma bola centrada na origem — combinação perfeita para esféricas.