Use o Teorema da Divergência para calcular o fluxo do campo \vec{F}(x, y, z)=\left(x^{3}, y^{3}, z^{3}\right) através da superfície da esfera x^{2}+y^{2}+z^{2}=9, orientada para fora.

Passo 1

O enunciado pede o fluxo do campo \vec{F}(x,y,z)=\left(x^{3},y^{3},z^{3}\right) através da superfície da esfera x^{2}+y^{2}+z^{2}=9, orientada para fora. Informações dadas e objetivos claros:
  • Campo vetorial: \vec{F}(x,y,z)=\left(x^{3},y^{3},z^{3}\right).
  • Superfície: esfera de raio 3 (porque x^{2}+y^{2}+z^{2}=9 implica raio 3), superfície fechada e orientada para fora.
  • Pergunta: calcular o fluxo de \vec{F} através dessa superfície fechada (isto é, \iint_{S}\vec{F}\cdot\vec{n}\,dS, onde S é a superfície da esfera orientada para fora).

Passo 2

Apresento a ferramenta que vamos usar: o Teorema da Divergência (também chamado Teorema de Gauss). Ele diz o seguinte:
\iint_{S}\vec{F}\cdot\vec{n}\,dS \;=\; \iiint_{V} \nabla\cdot\vec{F}\,dV,
onde V é o volume fechado por S e \nabla\cdot\vec{F} é a divergência de \vec{F}. Explicando com calma:
  • \vec{n} é o vetor normal unitário apontando para fora da superfície.
  • A divergência \nabla\cdot\vec{F} é a soma das derivadas parciais das componentes de \vec{F}:
\nabla\cdot\vec{F}=\frac{\partial F_{1}}{\partial x}+\frac{\partial F_{2}}{\partial y}+\frac{\partial F_{3}}{\partial z},
onde \vec{F}=(F_{1},F_{2},F_{3}).
  • Intuição rápida: o teorema transforma um fluxo sobre a superfície em uma integral tripla sobre o volume interior — muitas vezes isso simplifica muito o cálculo.

Passo 3

Calculo a divergência do campo dado. Temos \vec{F}(x,y,z)=\left(x^{3},y^{3},z^{3}\right), então:
\frac{\partial}{\partial x}(x^{3})=3x^{2},\qquad \frac{\partial}{\partial y}(y^{3})=3y^{2},\qquad \frac{\partial}{\partial z}(z^{3})=3z^{2}.
Logo
\nabla\cdot\vec{F}=3x^{2}+3y^{2}+3z^{2}=3\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right).
Isso simplifica bastante: a divergência é um múltiplo do quadrado da distância ao origem.

Passo 4

Aplicando o Teorema da Divergência, o fluxo pedido é
\iint_{S}\vec{F}\cdot\vec{n}\,dS \;=\; \iiint_{V} 3\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)\,dV,
onde V é a bola sólida de raio 3, isto é V=\{(x,y,z)\mid x^{2}+y^{2}+z^{2}\le 9\}.
Para calcular essa integral tripla vamos usar coordenadas esféricas, porque a integranda depende apenas de r^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2} e o domínio é uma bola centrada na origem — combinação perfeita para esféricas.

Passo 5

Recordando coordenadas esféricas:
x=\rho\sin\varphi\cos\theta,\qquad y=\rho\sin\varphi\sin\theta,\qquad z=\rho\cos\varphi,
com \rho\ge 0, 0\le\varphi\le\pi (ângulo polar) e 0\le\theta\le 2\pi (azimutal). O elemento de volume é
dV=\rho^{2}\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta.
Também observe que x^{2}+y^{2}+z^{2}=\rho^{2}. Substituindo tudo na integral do Passo 4:
\iiint_{V} 3\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)\,dV =3\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\pi}\int_{0}^{3} \rho^{2}\cdot \rho^{2}\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta,
porque x^{2}+y^{2}+z^{2}=\rho^{2} e dV=\rho^{2}\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta. Simplificando o integrando:
3\rho^{2}\cdot \rho^{2}\sin\varphi = 3\rho^{4}\sin\varphi.

Passo 6

Agora calculo a integral iterada passo a passo, mostrando cada conta:
  1. Integral em \rho:
\int_{0}^{3}\rho^{4}\,d\rho=\left.\frac{\rho^{5}}{5}\right|_{0}^{3}=\frac{3^{5}}{5}=\frac{243}{5}.
  1. Integral em \varphi:
\int_{0}^{\pi}\sin\varphi\,d\varphi=\left.-\cos\varphi\right|_{0}^{\pi}=(-\cos\pi)-(-\cos 0)=(-(-1))-(-1)=2.
  1. Integral em \theta:
\int_{0}^{2\pi}d\theta=2\pi.
Juntando tudo e lembrando o fator 3 na frente:
3 \cdot \left(\frac{243}{5}\right)\cdot 2 \cdot 2\pi =3\cdot\frac{243}{5}\cdot 4\pi =\frac{3\cdot 243\cdot 4\pi}{5}.
Faço a multiplicação numérica: 243\cdot 4=972 e 972\cdot 3=2916. Portanto o valor é
\frac{2916\pi}{5}.

Resposta

\dfrac{2916\pi}{5}

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