Calcule o fluxo de \vec{F}(x, y, z)=(x, y, z) através da superfície do cubo definido por 0 \leq x, y, z \leq 1, usando o Teorema da Divergência. Interprete fisicamente o resultado.

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular o fluxo de \vec{F}(x,y,z) = (x,y,z) através da superfície fechada do cubo definido por 0 \leq x,y,z \leq 1 e interpretar fisicamente o resultado.
Informações dadas e condições: \vec{F}(x,y,z)=(x,y,z); a superfície é a superfície fechada do cubo com faces nos planos x=0, x=1, y=0, y=1, z=0, z=1; é uma superfície fechada que delimita o volume V=\{(x,y,z)\mid 0\le x,y,z\le1\}. Não há mais dados faltando.

Passo 2

Enunciado do teorema (em linguagem prática): se S é a superfície fechada que limita um volume V e \vec{F} é um campo vetorial suficientemente suave, então o fluxo total de \vec{F} através de S iguala a integral tripla da divergência de \vec{F} sobre V. Em fórmula:
\iint_{S} \vec{F}\cdot\vec{n}\,dS = \iiint_{V} \operatorname{div}\vec{F}\,dV.
O que cada símbolo significa:
  • \iint_{S} \vec{F}\cdot\vec{n}\,dS é o fluxo total de \vec{F} saindo do volume, onde \vec{n} é o vetor normal unitário apontando para fora da região.
  • \operatorname{div}\vec{F} é a divergência de \vec{F}, que indica a taxa de “criação” (ou “saída líquida”) por unidade de volume em cada ponto.
  • \iiint_{V} \operatorname{div}\vec{F}\,dV soma essa taxa sobre todo o volume V.
    Usamos este teorema porque transforma uma integral de superfície (seis faces) numa integral mais simples sobre o volume do cubo.

Passo 3

Calcular a divergência de \vec{F}. Por definição,
\operatorname{div}\vec{F} = \frac{\partial F_x}{\partial x} + \frac{\partial F_y}{\partial y} + \frac{\partial F_z}{\partial z},
onde F_x, F_y, F_z são as componentes de \vec{F}. Aqui F_x(x,y,z)=x, F_y(x,y,z)=y, F_z(x,y,z)=z. Calculando as derivadas parciais:
\frac{\partial F_x}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}x = 1,\qquad \frac{\partial F_y}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}y = 1,\qquad \frac{\partial F_z}{\partial z} = \frac{\partial}{\partial z}z = 1.
Portanto,
\operatorname{div}\vec{F} = 1+1+1 = 3.
Interpretação imediata: a divergência é constante e igual a 3 em todo o espaço — há uma fonte uniforme com intensidade 3 por unidade de volume.

Passo 4

Aplicando o teorema da divergência, o fluxo pedido é
\iint_{S} \vec{F}\cdot\vec{n}\,dS = \iiint_{V} \operatorname{div}\vec{F}\,dV = \iiint_{V} 3\,dV.
Agora calculamos a integral tripla sobre o cubo 0\le x,y,z\le1. Podemos escrever:
\iiint_{V} 3\,dV = \int_{x=0}^{1}\int_{y=0}^{1}\int_{z=0}^{1} 3\,dz\,dy\,dx.
Integramos em z primeiro:
\int_{z=0}^{1} 3\,dz = 3z\Big|_{0}^{1} = 3.
Fica então
\int_{x=0}^{1}\int_{y=0}^{1} 3\,dy\,dx.
Integrando em y:
\int_{y=0}^{1} 3\,dy = 3y\Big|_{0}^{1} = 3.
E por fim em x:
\int_{x=0}^{1} 3\,dx = 3x\Big|_{0}^{1} = 3.
Também podemos ver mais rapidamente: \iiint_{V}3\,dV = 3\cdot \text{Vol}(V) = 3\cdot 1 = 3. Assim o fluxo total é 3.

Passo 5

Verificação alternativa (opcional, útil para entender): calcular o fluxo somando as contribuições de cada face do cubo diretamente. Há seis faces; em cada face calculamos \iint \vec{F}\cdot\vec{n}\,dS.
  • Face x=1: normal para fora \vec{n}=(1,0,0). Em x=1, \vec{F}=(1,y,z). Então \vec{F}\cdot\vec{n}=1 e a contribuição é
\int_{y=0}^{1}\int_{z=0}^{1} 1\,dz\,dy = 1.
  • Face x=0: normal \vec{n}=(-1,0,0). Em x=0, \vec{F}=(0,y,z). Então \vec{F}\cdot\vec{n}=0 e a contribuição é 0.
  • Face y=1: normal (0,1,0). Em y=1, \vec{F}=(x,1,z), produto =1. Contribuição
\int_{x=0}^{1}\int_{z=0}^{1}1\,dz\,dx = 1.
  • Face y=0: contribui 0 (produto \vec{F}\cdot\vec{n}=0).
  • Face z=1: normal (0,0,1). Em z=1, \vec{F}=(x,y,1), produto =1. Contribuição 1.
  • Face z=0: contribui 0.
    Somando as seis contribuições: 1+0+1+0+1+0 = 3, confirmando o resultado.

Passo 6

Interpretação física (curta e direta): pense em \vec{F} como um campo de velocidade de um fluido. A divergência \operatorname{div}\vec{F}=3 diz que, em cada ponto do espaço, há uma taxa de saída líquida de fluido de 3 unidades por unidade de volume — ou seja, o fluido está sendo gerado uniformemente (fonte) com densidade 3. Como o cubo tem volume 1, a quantidade total de fluido saindo pelo contorno por unidade de tempo é 3. Portanto o fluxo positivo 3 significa que há saída líquida do interior do cubo (fonte) com intensidade total 3. Força um pensamento encorajador: é um resultado simples e bem intuitivo — a divergência constante torna a conta direta.

Resposta

3
O fluxo é 3; fisicamente, como \operatorname{div}\vec{F}=3 é constante, há uma taxa de saída líquida de 3 por unidade de volume, e o cubo (volume 1) libera um total de 3 unidades de fluxo.

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