As informações relevantes: a expressão explícita de cada componente de \vec{F} (ou seja, P(x,y,z)=x+y, Q(x,y,z)=y+z, R(x,y,z)=x+z). Não há restrição de domínio: o campo está definido em todo \mathbb{R}^3.
Passo 2
Vamos lembrar a definição do rotacional (isso é importante para fazer na prova): para um campo \vec{F}=(P,Q,R) em coordenadas cartesianas, o rotacional é o vetor
Respondendo (b): o rotacional é nulo? Não. O rotacional que encontramos é \nabla\times\vec{F}=(-1,-1,-1), que é diferente do vetor nulo \mathbf{0}.
Passo 6
Agora (c): o campo é conservativo? Vamos usar a ideia que costuma aparecer na prova (explicando devagar): em domínios simplesmente conexos de \mathbb{R}^3 (por exemplo todo \mathbb{R}^3), um campo vetorial \vec{F} de classe C^1 é conservativo se, e somente se, \nabla\times\vec{F}=\mathbf{0}. Aqui nosso campo é polinomial (logo C^\infty) e está definido em todo \mathbb{R}^3, que é simplesmente conexo. Como já vimos \nabla\times\vec{F}\neq\mathbf{0}, isso impede que \vec{F} seja conservativo. Logo o campo NÃO é conservativo.
Passo 7
Para solidificar a intuição: se um campo fosse conservativo, a integral de linha ao longo de qualquer curva fechada seria zero. Podemos checar rapidamente um exemplo para ver que de fato há circulação não nula. Tome o quadrado unitário no plano z=0 com vértices (0,0)\to(1,0)\to(1,1)\to(0,1)\to(0,0). Avaliando \vec{F} em z=0 temos \vec{F}=(x+y,\,y,\,x). Calculando a integral de linha fechada (soma das quatro arestas) obtém-se -1 (passo a passo dá 1/2+1/2-3/2-1/2=-1), que é diferente de zero. Isso confirma na prática que o campo não é conservativo e está coerente com \nabla\times\vec{F}=-\mathbf{k}\cdot\mathbf{?} (mais precisamente \nabla\times\vec{F}\cdot\mathbf{k}=-1 e pela fórmula de Stokes a circulação sobre a superfície é -1 vezes a área).
Resposta
(a) \nabla\times\vec{F}=-\mathbf{i}-\mathbf{j}-\mathbf{k}=(-1,-1,-1)
(b) Não. \nabla\times\vec{F}\neq\mathbf{0}.
(c) Não. O campo não é conservativo (está definido em \mathbb{R}^3 e tem rotacional não nulo).