Considere
\vec{F}(x, y, z)=(x+y) \mathbf{i}+(y+z) \mathbf{j}+(x+z) \mathbf{k}
(a) Calcule o rotacional de \vec{F}.
(b) O rotacional é nulo?
(c) O campo é conservativo?

Passo 1

O enunciado nos dá o campo vetorial
\vec{F}(x,y,z)=(x+y)\,\mathbf{i}+(y+z)\,\mathbf{j}+(x+z)\,\mathbf{k}
e pede três coisas:
  • (a) Calcular o rotacional de \vec{F}.
  • (b) Dizer se o rotacional é nulo.
  • (c) Dizer se o campo é conservativo.
As informações relevantes: a expressão explícita de cada componente de \vec{F} (ou seja, P(x,y,z)=x+y, Q(x,y,z)=y+z, R(x,y,z)=x+z). Não há restrição de domínio: o campo está definido em todo \mathbb{R}^3.

Passo 2

Vamos lembrar a definição do rotacional (isso é importante para fazer na prova): para um campo \vec{F}=(P,Q,R) em coordenadas cartesianas, o rotacional é o vetor
\nabla\times\vec{F} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\\ \displaystyle \frac{\partial}{\partial x} & \displaystyle \frac{\partial}{\partial y} & \displaystyle \frac{\partial}{\partial z} \\\ P & Q & R \end{vmatrix}.
Explicando bem: a operação \nabla\times\vec{F} combina derivadas parciais das componentes de \vec{F}. Em forma componente a componente:
\nabla\times\vec{F} =\left(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z}\right)\mathbf{i} +\left(\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x}\right)\mathbf{j} +\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)\mathbf{k}.
Aqui cada símbolo significa:
  • P,Q,R são as componentes de \vec{F};
  • \partial/\partial x, \partial/\partial y, \partial/\partial z são derivadas parciais em relação às variáveis indicadas.

Passo 3

Primeiro identificamos explicitamente as componentes e calculamos todas as derivadas parciais necessárias:
P(x,y,z)=x+y,\qquad Q(x,y,z)=y+z,\qquad R(x,y,z)=x+z.
Agora as derivadas parciais:
\frac{\partial P}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}(x+y)=1,\qquad \frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}(x+y)=1,\qquad \frac{\partial P}{\partial z}=\frac{\partial}{\partial z}(x+y)=0.
\frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}(y+z)=0,\qquad \frac{\partial Q}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}(y+z)=1,\qquad \frac{\partial Q}{\partial z}=\frac{\partial}{\partial z}(y+z)=1.
\frac{\partial R}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}(x+z)=1,\qquad \frac{\partial R}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}(x+z)=0,\qquad \frac{\partial R}{\partial z}=\frac{\partial}{\partial z}(x+z)=1.

Passo 4

Agora substituímos essas derivadas na fórmula do rotacional componente a componente:
Primeiro componente (direção \mathbf{i}):
\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z}=0-1=-1.
Segunda componente (direção \mathbf{j}):
\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x}=0-1=-1.
Terceira componente (direção \mathbf{k}):
\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}=0-1=-1.
Portanto o rotacional é o vetor constante
\nabla\times\vec{F}=-\mathbf{i}-\mathbf{j}-\mathbf{k}=(-1,-1,-1).

Passo 5

Respondendo (b): o rotacional é nulo? Não. O rotacional que encontramos é \nabla\times\vec{F}=(-1,-1,-1), que é diferente do vetor nulo \mathbf{0}.

Passo 6

Agora (c): o campo é conservativo? Vamos usar a ideia que costuma aparecer na prova (explicando devagar): em domínios simplesmente conexos de \mathbb{R}^3 (por exemplo todo \mathbb{R}^3), um campo vetorial \vec{F} de classe C^1 é conservativo se, e somente se, \nabla\times\vec{F}=\mathbf{0}. Aqui nosso campo é polinomial (logo C^\infty) e está definido em todo \mathbb{R}^3, que é simplesmente conexo. Como já vimos \nabla\times\vec{F}\neq\mathbf{0}, isso impede que \vec{F} seja conservativo. Logo o campo NÃO é conservativo.

Passo 7

Para solidificar a intuição: se um campo fosse conservativo, a integral de linha ao longo de qualquer curva fechada seria zero. Podemos checar rapidamente um exemplo para ver que de fato há circulação não nula. Tome o quadrado unitário no plano z=0 com vértices (0,0)\to(1,0)\to(1,1)\to(0,1)\to(0,0). Avaliando \vec{F} em z=0 temos \vec{F}=(x+y,\,y,\,x). Calculando a integral de linha fechada (soma das quatro arestas) obtém-se -1 (passo a passo dá 1/2+1/2-3/2-1/2=-1), que é diferente de zero. Isso confirma na prática que o campo não é conservativo e está coerente com \nabla\times\vec{F}=-\mathbf{k}\cdot\mathbf{?} (mais precisamente \nabla\times\vec{F}\cdot\mathbf{k}=-1 e pela fórmula de Stokes a circulação sobre a superfície é -1 vezes a área).

Resposta

(a) \nabla\times\vec{F}=-\mathbf{i}-\mathbf{j}-\mathbf{k}=(-1,-1,-1)
(b) Não. \nabla\times\vec{F}\neq\mathbf{0}.
(c) Não. O campo não é conservativo (está definido em \mathbb{R}^3 e tem rotacional não nulo).

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