Considere \vec{r} \in \mathbb{R}^{3}, \vec{r}=x \hat{i}+y \hat{j}+z \hat{k}. Sijam r=\|\vec{r}\| e \hat{r}=\frac{\vec{r}}{r}.
\vec{\nabla} r^{\alpha}=\alpha r^{\alpha-2} \vec{r}, \alpha \in \mathbb{R}, \vec{r} \neq \overrightarrow{0};

Passo 1

O enunciado nos dá as seguintes informações:
  • \vec{r}\in\mathbb{R}^3 com \vec{r}=x\hat{i}+y\hat{j}+z\hat{k}.
  • r=\|\vec{r}\| e \hat{r}=\dfrac{\vec{r}}{r}.
  • A identidade a ser verificada é \vec{\nabla} r^{\alpha}=\alpha r^{\alpha-2}\vec{r}, para \alpha\in\mathbb{R} e \vec{r}\neq\vec{0}.
O que o problema pede: demonstrar a fórmula do gradiente de r^{\alpha} usando as informações dadas. Todas as quantidades matemáticas que usarmos estarão definidas para r\neq0.

Passo 2

Expressar r em coordenadas cartesianas. Por definição de norma em \mathbb{R}^3,
r=\|\vec{r}\|=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}.
Isso vale para todo (x,y,z) com r>0. Trabalhamos com r\neq0 porque a expressão envolve potências e derivadas que são singulares em r=0.

Passo 3

Escolher uma estratégia prática: calcular o gradiente pela definição em coordenadas cartesianas, ou seja
\vec{\nabla}r^{\alpha}=\left(\frac{\partial}{\partial x}r^{\alpha}\right)\hat{i}+\left(\frac{\partial}{\partial y}r^{\alpha}\right)\hat{j}+\left(\frac{\partial}{\partial z}r^{\alpha}\right)\hat{k}.
Usaremos a regra da cadeia para derivadas parciais: se g(t)=t^{\alpha} e t=r(x,y,z), então
\frac{\partial}{\partial x}g\big(r(x,y,z)\big)=g'(r)\,\frac{\partial r}{\partial x}.
Aqui g'(t)=\alpha t^{\alpha-1}.

Passo 4

Calcular g'(r) e a derivada parcial de r em relação a x.
Primeiro,
g'(r)=\alpha r^{\alpha-1}.
Agora r=(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{1/2}, então usando derivada de potência + regra da cadeia,
\frac{\partial r}{\partial x}=\frac{1}{2}(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{-1/2}\cdot 2x=\frac{x}{r}.
Portanto, aplicando a regra da cadeia,
\frac{\partial}{\partial x}r^{\alpha}=\alpha r^{\alpha-1}\cdot\frac{x}{r}=\alpha r^{\alpha-2}x.

Passo 5

Derivar de modo análogo em y e z. Pelos mesmos passos:
\frac{\partial}{\partial y}r^{\alpha}=\alpha r^{\alpha-2}y,\qquad \frac{\partial}{\partial z}r^{\alpha}=\alpha r^{\alpha-2}z.

Passo 6

Montar o gradiente com as componentes obtidas:
\vec{\nabla}r^{\alpha}=\alpha r^{\alpha-2}\big(x\hat{i}+y\hat{j}+z\hat{k}\big).
Reconhecendo x\hat{i}+y\hat{j}+z\hat{k}=\vec{r}, obtemos
\vec{\nabla}r^{\alpha}=\alpha r^{\alpha-2}\vec{r}.
Também é útil notar a forma alternativa usando \hat{r}=\dfrac{\vec{r}}{r}:
\vec{\nabla}r^{\alpha}=\alpha r^{\alpha-1}\hat{r}.
A validade desta derivação exige r\neq0. Para exemplos rápidos: se \alpha=1 então \vec{\nabla}r=\hat{r}; se \alpha=2 então \vec{\nabla}r^{2}=2\vec{r}.

Resposta

\vec{\nabla}r^{\alpha}=\alpha r^{\alpha-2}\vec{r}

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