Considere
. Sijam
e
.
;
Passo 1
O enunciado nos dá as seguintes informações:
-
com . -
e . - A identidade a ser verificada é
, para e .
O que o problema pede: demonstrar a fórmula do gradiente de
usando as informações dadas. Todas as quantidades matemáticas que usarmos estarão definidas para
.
Passo 2
Expressar
em coordenadas cartesianas. Por definição de norma em
,
Isso vale para todo
com
. Trabalhamos com
porque a expressão envolve potências e derivadas que são singulares em
.
Passo 3
Escolher uma estratégia prática: calcular o gradiente pela definição em coordenadas cartesianas, ou seja
Usaremos a regra da cadeia para derivadas parciais: se
e
, então
Aqui
.
Passo 4
Calcular
e a derivada parcial de
em relação a
.
Primeiro,
Primeiro,
Agora
, então usando derivada de potência + regra da cadeia,
Portanto, aplicando a regra da cadeia,
Passo 5
Derivar de modo análogo em
e
. Pelos mesmos passos:
Passo 6
Montar o gradiente com as componentes obtidas:
Reconhecendo
, obtemos
Também é útil notar a forma alternativa usando
:
A validade desta derivação exige
. Para exemplos rápidos: se
então
; se
então
.