A função considerada é f(x,y)=\dfrac{x^{3}-y^{3}}{x^{2}+y^{2}} definida para (x,y)\neq(0,0).
O ponto de interesse é (x,y)\to(0,0).
A pergunta é: esse limite existe e, se existe, qual é o seu valor?
Passo 2
Ideia geral (intuição): quando (x,y) tende a (0,0) vemos que o numerador tem termos da ordem de grandeza x^{3} e y^{3} (ou seja, ordem r^{3} se r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}), enquanto o denominador tem ordem r^{2}. Logo a razão deve ter ordem r e tender a zero. Vou transformar isso em argumentos concretos: (i) demonstrar com polares para ficar claro e (ii) fazer uma prova \varepsilon-\delta usando uma desigualdade simples, que é totalmente rigorosa.
Passo 3
Mudança para coordenadas polares (intuição formal): escrevemos
Aqui r\to 0^{+} quando (x,y)\to(0,0), e o fator entre parênteses depende só de \theta e é limitado: |\cos^{3}\theta-\sin^{3}\theta|\le |\cos^{3}\theta|+|\sin^{3}\theta|\le 1+1=2. Assim
Como r\to 0, o lado direito 2r\to 0, logo aquela expressão tende a 0. Isso já mostra que o limite é 0.
Passo 4
Prova \varepsilon-\delta rigorosa usando a desigualdade: a partir da desigualdade obtida em polares (ou mais elementarmente usando |x|\le r e |y|\le r),
Isso cumpre a definição \varepsilon-\delta de limite e prova rigorosamente que o limite é 0.
Passo 5
Verificação por caminhos simples (checagem extra, mais intuitiva): se tomarmos y=0 então a expressão vira \dfrac{x^{3}}{x^{2}}=x\to 0 quando x\to 0. Se tomarmos y=x obtemos \dfrac{x^{3}-x^{3}}{x^{2}+x^{2}}=0. Se tomarmos y=mx com constante m, em coordenadas polares isso corresponde a um \theta fixo, e pela fórmula r(\cos^{3}\theta-\sin^{3}\theta) o valor tende a 0 quando r\to 0. Todas as verificações por caminhos são coerentes com o limite 0 encontrado; não há indicação de dependência angular que impediria existência do limite.
Passo 6
Conclusão clara e encorajamento: juntando a desigualdade e a prova \varepsilon-\delta, temos um argumento completo e rigoroso de que a razão tende a zero quando (x,y)\to(0,0). Boa! A ideia-chave para este tipo de problema é comparar as ordens de r no numerador e no denominador (aqui r^{3} versus r^{2}), ou usar coordenadas polares para separar a dependência em r e em \theta.