Avalie cada um dos seguintes limites:
\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{x^{3}-y^{3}}{x^{2}+y^{2}}

Passo 1

O enunciado pede o limite
\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{x^{3}-y^{3}}{x^{2}+y^{2}}.
Informações dadas:
  • A função considerada é f(x,y)=\dfrac{x^{3}-y^{3}}{x^{2}+y^{2}} definida para (x,y)\neq(0,0).
  • O ponto de interesse é (x,y)\to(0,0).
    A pergunta é: esse limite existe e, se existe, qual é o seu valor?

Passo 2

Ideia geral (intuição): quando (x,y) tende a (0,0) vemos que o numerador tem termos da ordem de grandeza x^{3} e y^{3} (ou seja, ordem r^{3} se r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}), enquanto o denominador tem ordem r^{2}. Logo a razão deve ter ordem r e tender a zero. Vou transformar isso em argumentos concretos: (i) demonstrar com polares para ficar claro e (ii) fazer uma prova \varepsilon- \delta usando uma desigualdade simples, que é totalmente rigorosa.

Passo 3

Mudança para coordenadas polares (intuição formal): escrevemos
x=r\cos\theta,\qquad y=r\sin\theta,\qquad r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}.
Substituindo na expressão,
\frac{x^{3}-y^{3}}{x^{2}+y^{2}} = \frac{r^{3}(\cos^{3}\theta-\sin^{3}\theta)}{r^{2}} = r\bigl(\cos^{3}\theta-\sin^{3}\theta\bigr).
Aqui r\to 0^{+} quando (x,y)\to(0,0), e o fator entre parênteses depende só de \theta e é limitado: |\cos^{3}\theta-\sin^{3}\theta|\le |\cos^{3}\theta|+|\sin^{3}\theta|\le 1+1=2. Assim
\left|\frac{x^{3}-y^{3}}{x^{2}+y^{2}}\right| \le 2r.
Como r\to 0, o lado direito 2r\to 0, logo aquela expressão tende a 0. Isso já mostra que o limite é 0.

Passo 4

Prova \varepsilon- \delta rigorosa usando a desigualdade: a partir da desigualdade obtida em polares (ou mais elementarmente usando |x|\le r e |y|\le r),
|x^{3}-y^{3}|\le |x|^{3}+|y|^{3}\le r^{3}+r^{3}=2r^{3},
e x^{2}+y^{2}=r^{2}. Portanto, para (x,y)\neq(0,0),
\left|\frac{x^{3}-y^{3}}{x^{2}+y^{2}}\right|\le \frac{2r^{3}}{r^{2}}=2r.
Dado \varepsilon>0, escolha \delta=\varepsilon/2. Se \sqrt{x^{2}+y^{2}}=r<\delta então
\left|\frac{x^{3}-y^{3}}{x^{2}+y^{2}}-0\right|=\left|\frac{x^{3}-y^{3}}{x^{2}+y^{2}}\right|\le 2r<2\delta=\varepsilon.
Isso cumpre a definição \varepsilon- \delta de limite e prova rigorosamente que o limite é 0.

Passo 5

Verificação por caminhos simples (checagem extra, mais intuitiva): se tomarmos y=0 então a expressão vira \dfrac{x^{3}}{x^{2}}=x\to 0 quando x\to 0. Se tomarmos y=x obtemos \dfrac{x^{3}-x^{3}}{x^{2}+x^{2}}=0. Se tomarmos y=mx com constante m, em coordenadas polares isso corresponde a um \theta fixo, e pela fórmula r(\cos^{3}\theta-\sin^{3}\theta) o valor tende a 0 quando r\to 0. Todas as verificações por caminhos são coerentes com o limite 0 encontrado; não há indicação de dependência angular que impediria existência do limite.

Passo 6

Conclusão clara e encorajamento: juntando a desigualdade e a prova \varepsilon- \delta, temos um argumento completo e rigoroso de que a razão tende a zero quando (x,y)\to(0,0). Boa! A ideia-chave para este tipo de problema é comparar as ordens de r no numerador e no denominador (aqui r^{3} versus r^{2}), ou usar coordenadas polares para separar a dependência em r e em \theta.

Resposta

0

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