Considere \vec{F}(x, y, z)=(x y, y z, z x). Seja C a curva de interseção entre o cilindro x^{2}+y^{2}=1 e o plano z=x^{2}+y^{2}+1=2. Calcule \int_{C} \vec{F} \cdot d \vec{r}.

Passo 1

O que o problema pede: calcular \displaystyle \int_{C} \vec{F}\cdot d\vec{r}.
Informações dadas pelo enunciado:
  • \displaystyle \vec{F}(x,y,z)=(x y,\; y z,\; z x).
  • C é a curva de interseção entre o cilindro \displaystyle x^{2}+y^{2}=1 e o plano \displaystyle z=x^{2}+y^{2}+1=2.
Observação imediata (dados extraídos do enunciado): ao usar \displaystyle x^{2}+y^{2}=1 na expressão do plano \displaystyle z=x^{2}+y^{2}+1 obtemos \displaystyle z=1+1=2. Portanto a curva C é o círculo dado por
x^{2}+y^{2}=1,\qquad z=2,
isto é, um círculo de raio 1 no plano horizontal z=2.

Passo 2

Escolha do método e parametrização (explicando devagar como fazer numa prova): como C é um círculo simples, a forma mais direta é parametrizar C e calcular a integral de linha por substituição. Parametrização padrão do círculo de raio 1 no plano z=2 é
\vec{r}(t)=\big(\cos t,\;\sin t,\;2\big),\qquad 0\le t\le 2\pi.
Explicação: usamos \cos t e \sin t porque elas satisfazem \cos^{2}t+\sin^{2}t=1, cobrindo todo o círculo uma vez quando t vai de 0 até 2\pi. Esta parametrização é a orientação canônica (sentido anti-horário visto do eixo z positivo).

Passo 3

Computar d\vec{r} (passo mecânico mas essencial): derivando componente a componente em relação a t,
\frac{d\vec{r}}{dt}=\vec{r}\,'(t)=\big(-\sin t,\;\cos t,\;0\big).
Portanto d\vec{r}=\big(-\sin t,\;\cos t,\;0\big)\,dt.
Explicação didática: d\vec{r} é o vetor tangente ao caminho que indica como as coordenadas mudam quando damos um pequeno avanço dt no parâmetro. Na prova você sempre deriva cada componente separadamente.

Passo 4

Avaliar \vec{F} ao longo de \vec{r}(t): substituímos x=\cos t, y=\sin t, z=2 em \vec{F}:
\vec{F}(\vec{r}(t))=\big(\cos t\sin t,\; \sin t\cdot 2,\; 2\cos t\big).
Podemos simplificar a primeira componente usando identidade trigonométrica \sin 2t=2\sin t\cos t, ficando
\vec{F}(\vec{r}(t))=\Big(\tfrac{1}{2}\sin 2t,\; 2\sin t,\; 2\cos t\Big).

Passo 5

Formar o produto escalar \vec{F}(\vec{r}(t))\cdot \vec{r}\,'(t) que será o integrando em t:
\vec{F}(\vec{r}(t))\cdot \vec{r}\,'(t) = \Big(\tfrac{1}{2}\sin 2t\Big)(-\sin t) + (2\sin t)(\cos t) + (2\cos t)(0).
Agora simplificamos passo a passo:
\Big(\tfrac{1}{2}\sin 2t\Big)(-\sin t) = \tfrac{1}{2}\cdot(2\sin t\cos t)\cdot(-\sin t) = -\sin^{2}t\cos t.
Assim o integrando fica
\vec{F}(\vec{r}(t))\cdot \vec{r}\,'(t) = -\sin^{2}t\cos t + 2\sin t\cos t.
Agrupando termos:
\vec{F}(\vec{r}(t))\cdot \vec{r}\,'(t) = 2\sin t\cos t - \sin^{2}t\cos t.
Comentário didático: separar em termos mais simples ajuda a integrar. Podemos pensar em duas integrais: uma com \sin t\cos t e outra com \sin^{2}t\cos t.

Passo 6

Escrever a integral de linha como integral em t e separar termos:
\int_{C}\vec{F}\cdot d\vec{r}=\int_{0}^{2\pi}\big(2\sin t\cos t - \sin^{2}t\cos t\big)\,dt.
Separe em duas integrais:
I = 2\int_{0}^{2\pi}\sin t\cos t\,dt \;-\; \int_{0}^{2\pi}\sin^{2}t\cos t\,dt.

Passo 7

Calcular a primeira integral I_{1}=2\int_{0}^{2\pi}\sin t\cos t\,dt: usar identidade \sin t\cos t=\tfrac{1}{2}\sin 2t,
I_{1}=2\int_{0}^{2\pi}\sin t\cos t\,dt = \int_{0}^{2\pi}\sin 2t\,dt.
Integral de \sin 2t é -\tfrac{1}{2}\cos 2t, logo
I_{1}=\Big[-\tfrac{1}{2}\cos 2t\Big]_{0}^{2\pi}=-\tfrac{1}{2}\big(\cos 4\pi - \cos 0\big)=-\tfrac{1}{2}(1-1)=0.
Explicação didática: funções seno/cosseno com período 2\pi somam zero sobre um período inteiro; aqui mais diretamente o antiderivado avaliado nos limites dá zero.

Passo 8

Calcular a segunda integral I_{2}=\int_{0}^{2\pi}\sin^{2}t\cos t\,dt. Use a substituição padrão para integrais do tipo f(\sin t)\cos t\,dt: seja u=\sin t, então du=\cos t\,dt. Quando t vai de 0 até 2\pi, u=\sin t vai de 0 até 0 (volta ao mesmo valor), portanto
I_{2}=\int_{t=0}^{t=2\pi}\sin^{2}t\cos t\,dt = \int_{u=0}^{u=0} u^{2}\,du.
Uma antiderivada de u^{2} é \tfrac{u^{3}}{3}, então
I_{2}=\Big[\tfrac{u^{3}}{3}\Big]_{0}^{0}=0.
Comentário didático: mesmo que a transformação leve de volta ao mesmo valor, a integral de uma primitiva entre os mesmos limites é zero. Em provas isso é legítimo e muito prático.

Passo 9

Juntando resultados:
\int_{C}\vec{F}\cdot d\vec{r} = I_{1}-I_{2} = 0 - 0 = 0.
Interpretação rápida: o integrando é uma função periódica cujo integral ao longo de uma volta completa do círculo cancela; portanto o trabalho total ao redor de C é zero.

Resposta

\displaystyle 0

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