Considere
. Seja
a curva de interseção entre o cilindro
e o plano
. Calcule
.
Passo 1
O que o problema pede: calcular
.
Informações dadas pelo enunciado:
-
. -
é a curva de interseção entre o cilindro e o plano .
Observação imediata (dados extraídos do enunciado): ao usar
na expressão do plano
obtemos
. Portanto a curva
é o círculo dado por
isto é, um círculo de raio
no plano horizontal
.
Passo 2
Escolha do método e parametrização (explicando devagar como fazer numa prova): como
é um círculo simples, a forma mais direta é parametrizar
e calcular a integral de linha por substituição. Parametrização padrão do círculo de raio
no plano
é
Explicação: usamos
e
porque elas satisfazem
, cobrindo todo o círculo uma vez quando
vai de
até
. Esta parametrização é a orientação canônica (sentido anti-horário visto do eixo
positivo).
Passo 3
Computar
(passo mecânico mas essencial): derivando componente a componente em relação a
,
Portanto
.
Explicação didática:
é o vetor tangente ao caminho que indica como as coordenadas mudam quando damos um pequeno avanço
no parâmetro. Na prova você sempre deriva cada componente separadamente.
Passo 4
Avaliar
ao longo de
: substituímos
,
,
em
:
Podemos simplificar a primeira componente usando identidade trigonométrica
, ficando
Passo 5
Formar o produto escalar
que será o integrando em
:
Agora simplificamos passo a passo:
Assim o integrando fica
Agrupando termos:
Comentário didático: separar em termos mais simples ajuda a integrar. Podemos pensar em duas integrais: uma com
e outra com
.
Passo 6
Escrever a integral de linha como integral em
e separar termos:
Separe em duas integrais:
Passo 7
Calcular a primeira integral
: usar identidade
,
Integral de
é
, logo
Explicação didática: funções seno/cosseno com período
somam zero sobre um período inteiro; aqui mais diretamente o antiderivado avaliado nos limites dá zero.
Passo 8
Calcular a segunda integral
. Use a substituição padrão para integrais do tipo
: seja
, então
. Quando
vai de
até
,
vai de
até
(volta ao mesmo valor), portanto
Uma antiderivada de
é
, então
Comentário didático: mesmo que a transformação leve de volta ao mesmo valor, a integral de uma primitiva entre os mesmos limites é zero. Em provas isso é legítimo e muito prático.
Passo 9
Juntando resultados:
Interpretação rápida: o integrando é uma função periódica cujo integral ao longo de uma volta completa do círculo cancela; portanto o trabalho total ao redor de
é zero.