Calcule \int_{C} \vec{F} \cdot d \vec{r}, \operatorname{com} \vec{F}(x, y, z)=\left(z^{2}, x^{2}, y^{2}\right). A curva C é a interseção do cilindro x^{2}+y^{2}=2 com o plano inclinado z=x-y. Use como superfície S a parte do plano z=x-y compreendida dentro do cilindro.
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular a integral de linha fechada \displaystyle \int_{C} \vec{F}\cdot d\vec{r}, com \displaystyle \vec{F}(x,y,z)=\big(z^{2},x^{2},y^{2}\big).
Informações dadas e relevantes:
\begin{aligned} &\text{Curva }C:\\ \text{interseção do cilindro }\;x^{2}+y^{2}=2\;\text{com o plano }\;z=x-y.\\\ &S:\\ \text{a porção do plano }z=x-y\text{ contida no cilindro (ou seja, a região limitada por }C\text{).}\\\ &\text{Portanto }C=\partial S\\ (\text{curva orientada como bordo de }S). \end{aligned}
Passo 2
Escolha do método (por que usar isso): aqui temos uma integral de linha sobre uma curva fechada C que é o contorno de uma superfície S explicitamente dada. Isso é exatamente o cenário para aplicar o Teorema de Stokes. O Teorema de Stokes diz, em linguagem simples, que a integral de linha de \vec F ao longo do contorno de S é igual à integral de superfície do rotacional de \vec F sobre S:
Aqui \vec{n}\,dS é o vetor normal à superfície (com magnitude igual à área superficial elementar) orientado de acordo com a orientação de C. Vamos usar essa fórmula e calcular \nabla\times\vec{F} e a integral de superfície sobre a porção do plano.
Passo 3
Calcular o rotacional \nabla\times\vec{F}. Primeiro escrevemos a definição e aplicamos às componentes \vec{F}=(P,Q,R) com P=z^{2}, Q=x^{2}, R=y^{2}:
Parametrização da superfície S: como S é a parte do plano z=x-y sobre a região do plano xy limitada pelo círculo x^{2}+y^{2}=2, uma parametrização natural é
\vec{r}(x,y)=(x,\;y,\;x-y),
com (x,y) variando na região D=\{(x,y)\mid x^{2}+y^{2}\le 2\} (o disco de raio \sqrt{2}). Vamos usar (x,y) como parâmetros.
Cálculo do vetor normal (não unitário) \vec{r}_x\times\vec{r}_y que satisfaz \vec{r}_x\times\vec{r}_y\,dA=\vec{n}\,dS. Fazemos o produto vetorial por determinante:
Portanto \vec{r}_x\times\vec{r}_y é constante sobre a superfície. Observação: o sinal deste vetor determina a orientação de C; se trocarmos o sinal trocaríamos a orientação. Como veremos, o resultado final será zero independentemente do sinal.]
Passo 6
Calculamos o produto escalar (\nabla\times\vec{F})\cdot(\vec{r}_x\times\vec{r}_y) que será o integrando da integral dupla sobre D:
Mas D é o disco centrado na origem; por simetria, a integral de x sobre D é zero (função ímpar em x sobre região simétrica), e a integral de y sobre D também é zero. Alternativamente, em coordenadas polares x=r\cos\theta, y=r\sin\theta e a integral angular de \cos\theta e de \sin\theta sobre 0 a 2\pi é zero. Portanto
\iint_{D}4(x-y)\,dA=0.
Passo 8
Conclusão final: a integral de linha pedida vale 0. Bom trabalho! Mesmo parecendo cansativo, usar Stokes aqui torna tudo muito direto — e você já pegou a ideia principal: calcular o rotacional, parametrizar a superfície, montar o produto escalar e usar simetria do domínio para integrar. Força nos estudos, você está indo bem!