Calcule \int_{C} \vec{F} \cdot d \vec{r}, \operatorname{com} \vec{F}(x, y, z)=\left(z^{2}, x^{2}, y^{2}\right). A curva C é a interseção do cilindro x^{2}+y^{2}=2 com o plano inclinado z=x-y. Use como superfície S a parte do plano z=x-y compreendida dentro do cilindro.

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular a integral de linha fechada \displaystyle \int_{C} \vec{F}\cdot d\vec{r}, com \displaystyle \vec{F}(x,y,z)=\big(z^{2},x^{2},y^{2}\big).
Informações dadas e relevantes:
\begin{aligned} &\text{Curva }C:\\ \text{interseção do cilindro }\;x^{2}+y^{2}=2\;\text{com o plano }\;z=x-y.\\\ &S:\\ \text{a porção do plano }z=x-y\text{ contida no cilindro (ou seja, a região limitada por }C\text{).}\\\ &\text{Portanto }C=\partial S\\ (\text{curva orientada como bordo de }S). \end{aligned}çãçãã

Passo 2

Escolha do método (por que usar isso): aqui temos uma integral de linha sobre uma curva fechada C que é o contorno de uma superfície S explicitamente dada. Isso é exatamente o cenário para aplicar o Teorema de Stokes. O Teorema de Stokes diz, em linguagem simples, que a integral de linha de \vec F ao longo do contorno de S é igual à integral de superfície do rotacional de \vec F sobre S:
\oint_{C}\vec{F}\cdot d\vec{r}=\iint_{S}(\nabla\times\vec{F})\cdot \vec{n}\,dS.
Aqui \vec{n}\,dS é o vetor normal à superfície (com magnitude igual à área superficial elementar) orientado de acordo com a orientação de C. Vamos usar essa fórmula e calcular \nabla\times\vec{F} e a integral de superfície sobre a porção do plano.

Passo 3

Calcular o rotacional \nabla\times\vec{F}. Primeiro escrevemos a definição e aplicamos às componentes \vec{F}=(P,Q,R) com P=z^{2}, Q=x^{2}, R=y^{2}:
\nabla\times\vec{F}=\Big(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z},\\ \frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x},\\ \frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\Big).
Agora calculamos cada derivada:
\frac{\partial R}{\partial y}=\frac{\partial (y^{2})}{\partial y}=2y,\qquad \frac{\partial Q}{\partial z}=\frac{\partial (x^{2})}{\partial z}=0,
\frac{\partial P}{\partial z}=\frac{\partial (z^{2})}{\partial z}=2z,\qquad \frac{\partial R}{\partial x}=\frac{\partial (y^{2})}{\partial x}=0,
\frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial (x^{2})}{\partial x}=2x,\qquad \frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial (z^{2})}{\partial y}=0.
Logo
\nabla\times\vec{F}=(2y,\;2z,\;2x).

Passo 4

Parametrização da superfície S: como S é a parte do plano z=x-y sobre a região do plano xy limitada pelo círculo x^{2}+y^{2}=2, uma parametrização natural é
\vec{r}(x,y)=(x,\;y,\;x-y),
com (x,y) variando na região D=\{(x,y)\mid x^{2}+y^{2}\le 2\} (o disco de raio \sqrt{2}). Vamos usar (x,y) como parâmetros.
Cálculo de \vec{r}_x e \vec{r}_y:
\vec{r}_x=(1,\;0,\;1),\qquad \vec{r}_y=(0,\;1,\;-1).

Passo 5

Cálculo do vetor normal (não unitário) \vec{r}_x\times\vec{r}_y que satisfaz \vec{r}_x\times\vec{r}_y\,dA=\vec{n}\,dS. Fazemos o produto vetorial por determinante:
\vec{r}_x\times\vec{r}_y=\begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k}\\[4pt] 1 & 0 & 1\\[4pt] 0 & 1 & -1 \end{vmatrix} = (-1,\;1,\;1).
Portanto \vec{r}_x\times\vec{r}_y é constante sobre a superfície. Observação: o sinal deste vetor determina a orientação de C; se trocarmos o sinal trocaríamos a orientação. Como veremos, o resultado final será zero independentemente do sinal.]

Passo 6

Calculamos o produto escalar (\nabla\times\vec{F})\cdot(\vec{r}_x\times\vec{r}_y) que será o integrando da integral dupla sobre D:
(\nabla\times\vec{F})\cdot(\vec{r}_x\times\vec{r}_y)=(2y,\;2z,\;2x)\cdot(-1,\;1,\;1).
Fazendo o produto escalar:
(2y,\;2z,\;2x)\cdot(-1,\;1,\;1)=-2y+2z+2x=2(x-y+z).
Agora usamos que na superfície z=x-y, logo substituímos z por x-y:
2(x-y+z)=2\big(x-y+(x-y)\big)=2(2x-2y)=4(x-y).
Assim o integrando simplifica para 4(x-y).

Passo 7

Aplicando o Teorema de Stokes e trocando para a integral sobre o disco D:
\oint_{C}\vec{F}\cdot d\vec{r}=\iint_{S}(\nabla\times\vec{F})\cdot\vec{n}\,dS =\iint_{D}4(x-y)\,dA.
Agora avaliamos \iint_{D}4(x-y)\,dA. Podemos separar:
\iint_{D}4(x-y)\,dA=4\iint_{D}x\,dA-4\iint_{D}y\,dA.
Mas D é o disco centrado na origem; por simetria, a integral de x sobre D é zero (função ímpar em x sobre região simétrica), e a integral de y sobre D também é zero. Alternativamente, em coordenadas polares x=r\cos\theta, y=r\sin\theta e a integral angular de \cos\theta e de \sin\theta sobre 0 a 2\pi é zero. Portanto
\iint_{D}4(x-y)\,dA=0.

Passo 8

Conclusão final: a integral de linha pedida vale 0. Bom trabalho! Mesmo parecendo cansativo, usar Stokes aqui torna tudo muito direto — e você já pegou a ideia principal: calcular o rotacional, parametrizar a superfície, montar o produto escalar e usar simetria do domínio para integrar. Força nos estudos, você está indo bem!

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