Calcule \int_{C} \vec{F} \cdot d \vec{r}, onde o campo vetorial é dado por \vec{F}(x, y, z)=\left(e^{x}, y z, x^{2} y\right). Seja C a interseção entre o cilindro x^{2}+z^{2}=1 e o plano y=3. Considere como superfície S o disco do plano y=3 recortado pelo cilindro.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de linha \displaystyle \int_{C} \vec{F}\cdot d\vec{r}, onde o campo vetorial é \vec{F}(x,y,z)=\bigl(e^{x},\,y z,\,x^{2}y\bigr).
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
A curva C é a interseção entre o cilindro \displaystyle x^{2}+z^{2}=1 e o plano \displaystyle y=3. Logo C é um círculo de raio 1 contido no plano \displaystyle y=3.
A superfície S indicada é o disco do plano \displaystyle y=3 limitado por esse cilindro, ou seja o disco \{(x,y,z)\mid y=3,\;x^{2}+z^{2}\le 1\}.
Não foi dada orientação explícita para C. Vou escolher a orientação de C compatível com a normal \vec{n}=(0,1,0) (norma apontando para o lado de y positivo); se a orientação fosse a contrária o sinal da integral mudaria, mas veremos que o valor será zero e isso não fará diferença prática.
Passo 2
Escolhemos usar o Teorema de Stokes porque o enunciado já sugere uma superfície S cujo bordo é C. O Teorema de Stokes diz, em palavras simples: a integral de linha do campo ao longo da fronteira orientada é igual à integral de superfície do rotacional do campo sobre a superfície, isto é
Agora escolhemos a normal unitária à superfície S. A superfície S é o disco no plano \,y=3, que é um plano horizontal. A normal unitária (para o sentido positivo de y) é
\vec{n}=(0,1,0).
(Isto significa que estamos orientando C segundo a regra da mão direita com essa normal.)
Precisamos do produto escalar (\nabla\times\vec{F})\cdot\vec{n}. Calculando:
Como S é um disco horizontal, o elemento de área da superfície satisfaz dS=dA, onde dA é o elemento de área no plano x\!-\!z. Assim a integral de superfície torna-se a integral dupla sobre o disco planar D=\{(x,z)\mid x^{2}+z^{2}\le 1\}:
Agora avaliamos \iint_{D}(-6x)\,dA. Observação importante: o domínio D é o disco centrado na origem no plano x\!-\!z e é simétrico em relação ao eixo z e ao eixo x. A função integranda -6x é uma função ímpar em x (isto é, -6(-x)=6x= -(-6x)). Em domínios simétricos em x (como o disco centrado na origem), a integral de uma função ímpar em x é zero, porque para cada ponto (x,z) existe (-x,z) com contribuições opostas que se anulam.
Portanto
\iint_{D}(-6x)\,dA=0.
Se você preferir, poderia também trocar para coordenadas polares no plano x\!-\!z com x=r\cos\theta, z=r\sin\theta, 0\le r\le 1, 0\le\theta<2\pi. A integral ficaria
Observação final: se a orientação de C fosse oposta à que escolhemos, o valor da integral mudaria de sinal; como zero é igual a -0, o resultado é indiferente à orientação neste caso.