Calcule \int_{C} \vec{F} \cdot d \vec{r}, onde o campo vetorial é dado por \vec{F}(x, y, z)=\left(e^{x}, y z, x^{2} y\right). Seja C a interseção entre o cilindro x^{2}+z^{2}=1 e o plano y=3. Considere como superfície S o disco do plano y=3 recortado pelo cilindro.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha \displaystyle \int_{C} \vec{F}\cdot d\vec{r}, onde o campo vetorial é \vec{F}(x,y,z)=\bigl(e^{x},\,y z,\,x^{2}y\bigr).
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • A curva C é a interseção entre o cilindro \displaystyle x^{2}+z^{2}=1 e o plano \displaystyle y=3. Logo C é um círculo de raio 1 contido no plano \displaystyle y=3.
  • A superfície S indicada é o disco do plano \displaystyle y=3 limitado por esse cilindro, ou seja o disco \{(x,y,z)\mid y=3,\;x^{2}+z^{2}\le 1\}.
  • Não foi dada orientação explícita para C. Vou escolher a orientação de C compatível com a normal \vec{n}=(0,1,0) (norma apontando para o lado de y positivo); se a orientação fosse a contrária o sinal da integral mudaria, mas veremos que o valor será zero e isso não fará diferença prática.

Passo 2

Escolhemos usar o Teorema de Stokes porque o enunciado já sugere uma superfície S cujo bordo é C. O Teorema de Stokes diz, em palavras simples: a integral de linha do campo ao longo da fronteira orientada é igual à integral de superfície do rotacional do campo sobre a superfície, isto é
\displaystyle \int_{C}\vec{F}\cdot d\vec{r}=\iint_{S}(\nabla\times\vec{F})\cdot\vec{n}\,dS.
Aqui:
  • \nabla\times\vec{F} é o rotacional (curl) de \vec{F};
  • \vec{n} é o versor normal à superfície S escolhido de acordo com a orientação de C;
  • dS é o elemento de área na superfície S.
Vou aplicar essa igualdade: primeiro calculo \nabla\times\vec{F}, depois o produto escalar com a normal de S e por fim a integral dupla sobre o disco.

Passo 3

Calcular o rotacional \nabla\times\vec{F}. Para um campo \vec{F}=(F_{1},F_{2},F_{3}) temos
\nabla\times\vec{F}=\left(\frac{\partial F_{3}}{\partial y}-\frac{\partial F_{2}}{\partial z},\;\frac{\partial F_{1}}{\partial z}-\frac{\partial F_{3}}{\partial x},\;\frac{\partial F_{2}}{\partial x}-\frac{\partial F_{1}}{\partial y}\right).
No nosso caso F_{1}=e^{x}, F_{2}=y z, F_{3}=x^{2}y. Calculando cada derivada parcial:
  • \displaystyle \frac{\partial F_{3}}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}(x^{2}y)=x^{2}.
  • \displaystyle \frac{\partial F_{2}}{\partial z}=\frac{\partial}{\partial z}(y z)=y.
  • \displaystyle \frac{\partial F_{1}}{\partial z}=\frac{\partial}{\partial z}(e^{x})=0.
  • \displaystyle \frac{\partial F_{3}}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}(x^{2}y)=2xy.
  • \displaystyle \frac{\partial F_{2}}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}(y z)=0.
  • \displaystyle \frac{\partial F_{1}}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}(e^{x})=0.
Substituindo na fórmula do rotacional:
\nabla\times\vec{F}=\bigl(x^{2}-y,\;0-2xy,\;0-0\bigr)=(x^{2}-y,\,-2xy,\,0).

Passo 4

Agora escolhemos a normal unitária à superfície S. A superfície S é o disco no plano \,y=3, que é um plano horizontal. A normal unitária (para o sentido positivo de y) é
\vec{n}=(0,1,0).
(Isto significa que estamos orientando C segundo a regra da mão direita com essa normal.)
Precisamos do produto escalar (\nabla\times\vec{F})\cdot\vec{n}. Calculando:
(\nabla\times\vec{F})\cdot\vec{n}=(x^{2}-y,\, -2xy,\,0)\cdot(0,1,0)=-2xy.

Passo 5

Sobre a superfície S temos y=3 fixo. Substituindo y=3 obtemos o integrando que entra na integral de superfície:
(\nabla\times\vec{F})\cdot\vec{n}\big|_{S}=-2x\cdot 3=-6x.
Como S é um disco horizontal, o elemento de área da superfície satisfaz dS=dA, onde dA é o elemento de área no plano x\!-\!z. Assim a integral de superfície torna-se a integral dupla sobre o disco planar D=\{(x,z)\mid x^{2}+z^{2}\le 1\}:
\iint_{S}(\nabla\times\vec{F})\cdot\vec{n}\,dS=\iint_{D}(-6x)\,dA.

Passo 6

Agora avaliamos \iint_{D}(-6x)\,dA. Observação importante: o domínio D é o disco centrado na origem no plano x\!-\!z e é simétrico em relação ao eixo z e ao eixo x. A função integranda -6x é uma função ímpar em x (isto é, -6(-x)=6x= -(-6x)). Em domínios simétricos em x (como o disco centrado na origem), a integral de uma função ímpar em x é zero, porque para cada ponto (x,z) existe (-x,z) com contribuições opostas que se anulam.
Portanto
\iint_{D}(-6x)\,dA=0.
Se você preferir, poderia também trocar para coordenadas polares no plano x\!-\!z com x=r\cos\theta, z=r\sin\theta, 0\le r\le 1, 0\le\theta<2\pi. A integral ficaria
\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{1} -6(r\cos\theta)\,r\,dr\,d\theta = -6\int_{0}^{1} r^{2}\,dr \int_{0}^{2\pi}\cos\theta\,d\theta,
e \displaystyle \int_{0}^{2\pi}\cos\theta\,d\theta=0, levando ao mesmo resultado zero.

Passo 7

Aplicando o Teorema de Stokes e o resultado da integral de superfície, concluímos:
\displaystyle \int_{C}\vec{F}\cdot d\vec{r}=\iint_{S}(\nabla\times\vec{F})\cdot\vec{n}\,dS=0.
Observação final: se a orientação de C fosse oposta à que escolhemos, o valor da integral mudaria de sinal; como zero é igual a -0, o resultado é indiferente à orientação neste caso.

Resposta

\;0

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