Considere que a velocidade de desintegração de um certo material radioativo é proporcional à quantidade de material.
(a) Determine uma equação diferencial de descreva este fenómeno de desintegração radioativa.
(b) O tempo de meia vida de um material radioativo é o tempo necessário para que a quantidade do material se desintegre até reduzir-se à metade da quantidade inicial. Baseado no item anterior, encontre uma expressão geral para o tempo de meia vida.
(a) Determine uma equação diferencial de descreva este fenómeno de desintegração radioativa.
(b) O tempo de meia vida de um material radioativo é o tempo necessário para que a quantidade do material se desintegre até reduzir-se à metade da quantidade inicial. Baseado no item anterior, encontre uma expressão geral para o tempo de meia vida.
Passo 1
O enunciado diz que a velocidade de desintegração de um material é proporcional à quantidade
desse material em cada instante
. O conteúdo aqui é equações diferenciais de primeira ordem com separação de variáveis, e depois vamos usar a solução para definir o tempo de meia-vida.
Passo 2
Como a taxa de variação de
é proporcional a
, escrevemos
onde
é a constante de decaimento. O sinal negativo indica que
decresce com o tempo.
Passo 3
Para resolver por separação de variáveis, passamos
para o lado esquerdo e
para o direito:
Integrando ambos os lados,
Passo 4
Aplicando a condição inicial
, temos
logo
Passo 5
O tempo de meia-vida
satisfaz
. Substituindo na solução,
e assim
Resposta
(a)
(b)
(b)