Considere que a velocidade de desintegração de um certo material radioativo é proporcional à quantidade de material.
(a) Determine uma equação diferencial de descreva este fenómeno de desintegração radioativa.
(b) O tempo de meia vida de um material radioativo é o tempo necessário para que a quantidade do material se desintegre até reduzir-se à metade da quantidade inicial. Baseado no item anterior, encontre uma expressão geral para o tempo de meia vida.

Passo 1

O enunciado diz que a velocidade de desintegração de um material é proporcional à quantidade Q desse material em cada instante t. O conteúdo aqui é equações diferenciais de primeira ordem com separação de variáveis, e depois vamos usar a solução para definir o tempo de meia-vida.

Passo 2

Como a taxa de variação de Q é proporcional a Q, escrevemos
dQdt = -lambda,Q
onde lambda>0 é a constante de decaimento. O sinal negativo indica que Q decresce com o tempo.

Passo 3

Para resolver por separação de variáveis, passamos Q para o lado esquerdo e t para o direito:
dQQ = -lambda,dt
Integrando ambos os lados,
integral dQQ = integral -lambda,dt Longrightarrow ln|Q| = -lambda t + C

Passo 4

Aplicando a condição inicial Q(0)=Q0, temos
ln Q0 = C,
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ln|Q| = -lambda t + ln Q0 Longrightarrow Q(t) = Q0,e^-lambda t

Passo 5

O tempo de meia-vida t1/2 satisfaz Q(t1/2) = Q0/2. Substituindo na solução,
Q0,e^-lambda t1/2 = Q02 Longrightarrow e^-lambda t1/2 = tfrac12 Longrightarrow -lambda t1/2 = ln!l(tfrac12r) = -ln2
e assim
t1/2 = ln2lambda

Resposta

(a) dQdt = -lambda,Q
(b) t1/2 = ln2lambda

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