Usando os vetores
e
, prove que
Passo 1
O enunciado dá três vetores e pede para provar duas identidades trigonométricas. Vou listar claramente o que temos e o que se pede:
-
Vetores dados:
-
. -
. -
.
-
-
O que se pede:
- Provar que
. - Provar que
.
- Provar que
Nada mais será assumido neste passo — só identifiquei os dados e as duas fórmulas que precisamos demonstrar.
Passo 2
Primeira ferramenta: produto escalar (dot product). Lembrete rápido e didático:
- Para vetores
e temos, por definição,
- Geometricamente, o produto escalar relaciona-se ao ângulo
entre os vetores por
onde
é o comprimento (norma) de
.
Agora aplico isso aos vetores
e
.
- Calculo o produto escalar por componentes:
- Observação geométrica:
é o vetor unitário que faz ângulo com o eixo . O vetor é o vetor unitário que faz ângulo com o eixo (repare no sinal negativo em ). Logo o ângulo entre e é
Como ambos são vetores unitários, pela fórmula geométrica do produto escalar:
- Igualando as duas expressões para
obtenho a identidade para o cosseno:
Passo 3
Segunda ferramenta: determinante 2D (versão do produto vetorial escalar em duas dimensões), que mede a área orientada e está ligada ao seno do ângulo.
- Para
e definimos o determinante (ou “produto cruzado escalar em 2D”)
- Geometricamente, se
é o ângulo de para (ângulo orientado), então
Vou calcular
por componentes:
Factorizando o sinal:
Agora o lado geométrico: o ângulo orientado de
para
é
(porque
está a
e
a
, então ir de
a
é
). Como ambos têm norma
,
Igualando as duas expressões para
(a computada por componentes e a geométrica) obtemos:
Cancelando o
em ambos os lados dá a fórmula do seno:
Passo 4
Resumo curto do raciocínio (para fixar): usar dois fatos simples sobre vetores no plano — (i) produto escalar dá cosseno do ângulo entre vetores e (ii) determinante 2D dá seno do ângulo orientado — e aplicar isso aos vetores unitários
(ângulo
) e
(ângulo
). O cálculo por componentes fornece as expressões algébricas que se igualam às expressões trigonométricas, culminando nas identidades de adição.
Exemplo numérico rápido para ganhar confiança: tome
e
. Então
que é exatamente
. Isso dá confiança de que as fórmulas funcionam.
Passo 5
As duas identidades foram deduzidas de forma completa e passo a passo usando apenas definições elementares de produto escalar e determinante em
.