Usando os vetores \boldsymbol{p}=(\cos \theta, \sin \theta), \boldsymbol{q}=(\cos \varphi,-\sin \varphi) e \boldsymbol{r}=(\cos \varphi, \sin \varphi), prove que
\begin{aligned} \sin (\theta+\varphi) & =\sin \theta \cos \varphi+\cos \theta \sin \varphi \\ \cos (\theta+\varphi) & =\cos \theta \cos \varphi-\sin \theta \sin \varphi \end{aligned}

Passo 1

O enunciado dá três vetores e pede para provar duas identidades trigonométricas. Vou listar claramente o que temos e o que se pede:
  • Vetores dados:
    • \boldsymbol{p}=(\cos\theta,\sin\theta).
    • \boldsymbol{q}=(\cos\varphi,-\sin\varphi).
    • \boldsymbol{r}=(\cos\varphi,\sin\varphi).
  • O que se pede:
    • Provar que \sin(\theta+\varphi)=\sin\theta\cos\varphi+\cos\theta\sin\varphi.
    • Provar que \cos(\theta+\varphi)=\cos\theta\cos\varphi-\sin\theta\sin\varphi.
Nada mais será assumido neste passo — só identifiquei os dados e as duas fórmulas que precisamos demonstrar.

Passo 2

Primeira ferramenta: produto escalar (dot product). Lembrete rápido e didático:
  • Para vetores \boldsymbol{a}=(a_1,a_2) e \boldsymbol{b}=(b_1,b_2) temos, por definição,
\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}=a_1b_1+a_2b_2.
  • Geometricamente, o produto escalar relaciona-se ao ângulo \alpha entre os vetores por
\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}=|\boldsymbol{a}|\,|\boldsymbol{b}|\cos\alpha,
onde |\boldsymbol{a}| é o comprimento (norma) de \boldsymbol{a}.
Agora aplico isso aos vetores \boldsymbol{p} e \boldsymbol{q}.
  1. Calculo o produto escalar por componentes:
\boldsymbol{p}\cdot\boldsymbol{q}=(\cos\theta)(\cos\varphi)+(\sin\theta)(-\,\sin\varphi) =\cos\theta\cos\varphi-\sin\theta\sin\varphi.
  1. Observação geométrica: \boldsymbol{p} é o vetor unitário que faz ângulo \theta com o eixo x. O vetor \boldsymbol{q}=(\cos\varphi,-\sin\varphi) é o vetor unitário que faz ângulo -\varphi com o eixo x (repare no sinal negativo em -\sin\varphi). Logo o ângulo entre \boldsymbol{p} e \boldsymbol{q} é
\theta-(-\varphi)=\theta+\varphi.
Como ambos são vetores unitários, pela fórmula geométrica do produto escalar:
\boldsymbol{p}\cdot\boldsymbol{q}=\cos(\theta+\varphi).
  1. Igualando as duas expressões para \boldsymbol{p}\cdot\boldsymbol{q} obtenho a identidade para o cosseno:
\cos(\theta+\varphi)=\cos\theta\cos\varphi-\sin\theta\sin\varphi.

Passo 3

Segunda ferramenta: determinante 2D (versão do produto vetorial escalar em duas dimensões), que mede a área orientada e está ligada ao seno do ângulo.
  • Para \boldsymbol{a}=(a_1,a_2) e \boldsymbol{b}=(b_1,b_2) definimos o determinante (ou “produto cruzado escalar em 2D”)
\det(\boldsymbol{a},\boldsymbol{b})=a_1b_2-a_2b_1.
  • Geometricamente, se \alpha é o ângulo de \boldsymbol{a} para \boldsymbol{b} (ângulo orientado), então
\det(\boldsymbol{a},\boldsymbol{b})=|\boldsymbol{a}|\,|\boldsymbol{b}|\sin\alpha.
Vou calcular \det(\boldsymbol{p},\boldsymbol{q}) por componentes:
\det(\boldsymbol{p},\boldsymbol{q})=(\cos\theta)(-\,\sin\varphi)-(\sin\theta)(\cos\varphi) =-\cos\theta\sin\varphi-\sin\theta\cos\varphi.
Factorizando o sinal:
\det(\boldsymbol{p},\boldsymbol{q})=-(\sin\theta\cos\varphi+\cos\theta\sin\varphi).
Agora o lado geométrico: o ângulo orientado de \boldsymbol{p} para \boldsymbol{q} é -(\theta+\varphi) (porque \boldsymbol{q} está a -\varphi e \boldsymbol{p} a \theta, então ir de \boldsymbol{p} a \boldsymbol{q} é -(\theta+\varphi)). Como ambos têm norma 1,
\det(\boldsymbol{p},\boldsymbol{q})=\sin\bigl(-(\theta+\varphi)\bigr)=-\sin(\theta+\varphi).
Igualando as duas expressões para \det(\boldsymbol{p},\boldsymbol{q}) (a computada por componentes e a geométrica) obtemos:
-\bigl(\sin\theta\cos\varphi+\cos\theta\sin\varphi\bigr)=-\sin(\theta+\varphi).
Cancelando o -1 em ambos os lados dá a fórmula do seno:
\sin(\theta+\varphi)=\sin\theta\cos\varphi+\cos\theta\sin\varphi.

Passo 4

Resumo curto do raciocínio (para fixar): usar dois fatos simples sobre vetores no plano — (i) produto escalar dá cosseno do ângulo entre vetores e (ii) determinante 2D dá seno do ângulo orientado — e aplicar isso aos vetores unitários \boldsymbol{p} (ângulo \theta) e \boldsymbol{q} (ângulo -\varphi). O cálculo por componentes fornece as expressões algébricas que se igualam às expressões trigonométricas, culminando nas identidades de adição.
Exemplo numérico rápido para ganhar confiança: tome \theta=\pi/6 e \varphi=\pi/4. Então
\sin\theta\cos\varphi+\cos\theta\sin\varphi=\tfrac{1}{2}\cdot\tfrac{\sqrt{2}}{2}+\tfrac{\sqrt{3}}{2}\cdot\tfrac{\sqrt{2}}{2}=\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4},
que é exatamente \sin\bigl(\tfrac{\pi}{6}+\tfrac{\pi}{4}\bigr)=\sin\bigl(\tfrac{5\pi}{12}\bigr). Isso dá confiança de que as fórmulas funcionam.

Passo 5

As duas identidades foram deduzidas de forma completa e passo a passo usando apenas definições elementares de produto escalar e determinante em \mathbb{R}^2.

Resposta

\sin(\theta+\varphi)=\sin\theta\cos\varphi+\cos\theta\sin\varphi
\cos(\theta+\varphi)=\cos\theta\cos\varphi-\sin\theta\sin\varphi

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