Demonstre 1 \leqslant \int_{0}^{1} \sqrt{1+x^{2}} d x \leqslant \sqrt{2}

Passo 1

O enunciado pede que eu mostre a desigualdade
1 \leqslant \int_{0}^{1} \sqrt{1+x^{2}}\,dx \leqslant \sqrt{2}.
Informações dadas (que eu vou usar):
  • A função a integrar é x\mapsto \sqrt{1+x^{2}}.
  • O intervalo de integração é [0,1].
    O que preciso provar é que a integral dessa função em [0,1] é ao mesmo tempo maior ou igual a 1 e menor ou igual a \sqrt{2}.

Passo 2

Primeiro fato simples sobre a função: para todo x\in[0,1] vale x^{2}\geqslant 0. Então
1+x^{2}\geqslant 1.
A função raiz quadrada \sqrt{\cdot} é crescente em [0,\infty), isto é, se a\ge b\ge0 então \sqrt{a}\ge\sqrt{b}. Aplicando isso a a=1+x^{2} e b=1 obtenho, para todo x\in[0,1],
\sqrt{1+x^{2}}\geqslant \sqrt{1}=1.

Passo 3

Agora uso uma propriedade básica de integrais: se f(x)\ge g(x) para todo x em um intervalo [a,b], então
\int_{a}^{b} f(x)\,dx \ge \int_{a}^{b} g(x)\,dx.
Aplicando com f(x)=\sqrt{1+x^{2}} e g(x)=1 em [0,1], segue
\int_{0}^{1}\sqrt{1+x^{2}}\,dx \ge \int_{0}^{1} 1\,dx.
E \displaystyle \int_{0}^{1} 1\,dx = 1. Portanto já temos a metade esquerda da desigualdade:
\int_{0}^{1}\sqrt{1+x^{2}}\,dx \ge 1.

Passo 4

Agora a outra desigualdade. Para x\in[0,1] temos x^{2}\leqslant 1, logo
1+x^{2}\leqslant 1+1=2.
Novamente usando que \sqrt{\cdot} é crescente, deduzo para todo x\in[0,1]
\sqrt{1+x^{2}}\leqslant \sqrt{2}.

Passo 5

Aplicando de novo a propriedade monotônica das integrais (se f\le g então \int f\le \int g), com f(x)=\sqrt{1+x^{2}} e g(x)=\sqrt{2} em [0,1], obtenho
\int_{0}^{1}\sqrt{1+x^{2}}\,dx \le \int_{0}^{1} \sqrt{2}\,dx.
E \displaystyle \int_{0}^{1}\sqrt{2}\,dx = \sqrt{2}\cdot(1-0)=\sqrt{2}. Assim obtemos a metade direita da desigualdade:
\int_{0}^{1}\sqrt{1+x^{2}}\,dx \le \sqrt{2}.

Passo 6

Resumo e um comentário final para motivar: as duas desigualdades seguem apenas comparando a função \sqrt{1+x^{2}} com as constantes 1 e \sqrt{2} ponto a ponto no intervalo [0,1], e em seguida integrando essas desigualdades constantes. Essa é uma técnica padrão e muito útil em provas de estimativas de integrais — quando a função é difícil de integrar exatamente, cercá-la por funções mais simples (aqui constantes) dá limites imediatos.

Resposta

1 \leqslant \int_{0}^{1} \sqrt{1+x^{2}}\,dx \leqslant \sqrt{2}

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