Demonstre
Passo 1
O enunciado pede que eu mostre a desigualdade
Informações dadas (que eu vou usar):
- A função a integrar é
. - O intervalo de integração é
.
O que preciso provar é que a integral dessa função emé ao mesmo tempo maior ou igual a e menor ou igual a .
Passo 2
Primeiro fato simples sobre a função: para todo
vale
. Então
A função raiz quadrada
é crescente em
, isto é, se
então
. Aplicando isso a
e
obtenho, para todo
,
Passo 3
Agora uso uma propriedade básica de integrais: se
para todo
em um intervalo
, então
Aplicando com
e
em
, segue
E
. Portanto já temos a metade esquerda da desigualdade:
Passo 4
Agora a outra desigualdade. Para
temos
, logo
Novamente usando que
é crescente, deduzo para todo
Passo 5
Aplicando de novo a propriedade monotônica das integrais (se
então
), com
e
em
, obtenho
E
. Assim obtemos a metade direita da desigualdade:
Passo 6
Resumo e um comentário final para motivar: as duas desigualdades seguem apenas comparando a função
com as constantes
e
ponto a ponto no intervalo
, e em seguida integrando essas desigualdades constantes. Essa é uma técnica padrão e muito útil em provas de estimativas de integrais — quando a função é difícil de integrar exatamente, cercá-la por funções mais simples (aqui constantes) dá limites imediatos.