Considere em R^2 o vetor u=(-1,2) e o ponto P=(3,-1).
Determine um ponto Q de R^2 de modo que PQ=-3 u.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá um vetor u = (-1, 2) e um ponto P = (3, -1) no plano R^2. O objetivo é encontrar um ponto Q tal que o vetor que vai de P até Q, escrito como PQ, seja igual a -3 u. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de vetores e operações com pontos no plano.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa o vetor PQ. Esse vetor representa a “diferença” entre as coordenadas de Q e P. Se P tem coordenadas (xP, yP) e Q tem coordenadas (xQ, yQ), então:
PQ = (xQ - xP, yQ - yP)

Passo 3

Agora, o enunciado diz que PQ = -3 u. Vamos calcular esse produto escalar. Multiplicar um vetor por um número significa multiplicar cada componente do vetor por esse número.
Dado que u = (-1, 2), temos:
-3 u = -3 times (-1, 2) = (3, -6)
Então, PQ = (3, -6).

Passo 4

Sabendo que PQ = (xQ - xP, yQ - yP) e que esse vetor é igual a (3, -6), podemos montar as seguintes equações:
xQ - xP = 3
yQ - yP = -6
Substituindo as coordenadas de P, que são (3, -1):
xQ - 3 = 3 Rightarrow xQ = 6
yQ - (-1) = -6 Rightarrow yQ = -7

Resposta

Portanto, o ponto Q que satisfaz PQ = -3 u é:
Q = (6, -7)

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