Mostre que se u, v in R^3, então vale que r(u+v)=r u+r v, forall r in R.

Passo 1

Beleza! O que a gente precisa fazer aqui é mostrar que, se temos dois vetores u e v no espaço tridimensional R^3, multiplicar a soma desses vetores por um número real r é igual a multiplicar cada vetor individualmente por r e depois somar os resultados. Esse é um conceito básico de álgebra linear chamado distributividade da multiplicação escalar sobre a adição de vetores.

Passo 2

Vamos começar escrevendo os vetores u e v em termos das suas coordenadas. Suponha que:
u = u1 u2 u3 e v = v1 v2 v3
Aqui, u1, u2, u3 e v1, v2, v3 são os componentes dos vetores u e v, respectivamente.

Passo 3

Agora, vamos somar os vetores u e v. A soma de dois vetores é feita somando suas respectivas componentes:
u + v = u1 + v1 u2 + v2 u3 + v3

Passo 4

Em seguida, vamos multiplicar essa soma pelo escalar r. A multiplicação de um escalar por um vetor é feita multiplicando cada componente do vetor pelo escalar:
r(u + v) = r u1 + v1 u2 + v2 u3 + v3 = r(u1 + v1) r(u2 + v2) r(u3 + v3)

Passo 5

Agora, distribuímos o r dentro de cada parêntese:
r(u1 + v1) r(u2 + v2) r(u3 + v3) = ru1 + rv1 ru2 + rv2 ru3 + rv3

Passo 6

Observe que isso é o mesmo que multiplicar cada vetor individualmente por r e depois somar os resultados:
ru1 ru2 ru3 + rv1 rv2 rv3 = ru + rv

Resposta

Portanto, mostramos que:
r(u + v) = ru + rv, forall r in R
Isso confirma que a multiplicação escalar distribui sobre a adição de vetores no espaço R^3.

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