Considere o vetor posição dado por:
r(t)=(3 c m-4 c ms t) x+2 c ms t y
a) obtenha o vetor velocidade
v
e o seu módulo.
b) Obtenha as posições nos instantes,
t=0 s, t=2 s
e
t=4 s
. Faça um gráfico
x times y
e ligue os pontos.
c) obtenha a equação da trajetória
y(x)
.
d) Verifique se essa equação fornece as mesmas posições encontradas no item a).

Passo 1

O enunciado fornece o vetor posição
r(t)=l(3,cm-4,tfraccms,tr)x +2,tfraccms,t,y,
e pede:
(a) o vetor velocidade vec v(t)=dfracdvec rdt e seu módulo;
(b) as posições para t=0, 2 e 4 s e o gráfico xtimes y;
(c) a equação da trajetória y(x);
(d) verificar se essa equação reproduz as posições do item (b).

Passo 2

Derivamos componente a componente para obter
vx(t)=ddtl(3-4tr),cm =-4,cms, vy(t)=ddtl(2tr),cms =2,cms
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vec v(t)=-4,tfraccmshat x +2,tfraccmshat y

Passo 3

O módulo de vec v é
l|vec vr| =raiz(-4)^2+2^2,cms =raiz16+4,cms =2raiz5,cms

Passo 4

Substituímos t=0, 2 e 4 em vec r(t):
t =0 s:
vec r(0)=l(3,cm,0r)
t =2 s:
vec r(2)=l(3-8,;2cdot 2r),cm =l(-5,cm,4,cmr)
t =4 s:
vec r(4)=l(3-16,;2cdot 4r),cm =l(-13,cm,8,cmr)

Passo 5

No plano xy, marcamos os pontos
(3,0), (-5,4) e (-13,8) (em cm) e unimos por segmentos. Observa-se que eles são colineares, descrevendo uma reta de inclinação negativa.

Passo 6

Para achar y(x), escrevemos
x=3-4t Longrightarrow t=3-x4,
e como y=2t, temos
y(x)=2cdot3-x4 =3-x2

Passo 7

Verificamos em cada ponto:
se x=3, então y=(3-3)/2=0;
se x=-5, então y=(3+5)/2=4;
se x=-13, então y=(3+13)/2=8.
Coincide com as posições do item (b).

Resposta

(a) vec v(t)=-4,tfraccmshat x +2,tfraccmshat y, |vec v|=2raiz5,tfraccms
(b) vec r(0)=(3,cm,0),; vec r(2)=(-5,cm,4,cm),; vec r(4)=(-13,cm,8,cm). No gráfico xtimes y, esses pontos formam uma reta.
(c) y(x)=tfrac3-x2
(d) Substituindo cada x nessa fórmula obtém-se os mesmos y de (b), conforme verificado.

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