Considere o vetor posição (i) r(t)=-t^2 i+(t-1) j. Obtenha :
A velocidade v(t) na forma (vx(t), vy(t), vz(t)) e a aceleração a(t) na forma (ax(t), ay(t), az(t)).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um vetor posição que depende do tempo, dado por r(t) = -t^2 i + (t-1) j. O que a gente precisa fazer aqui é encontrar a velocidade v(t) e a aceleração a(t) desse vetor. Isso entra na matéria de Cálculo Vetorial, onde a gente usa derivadas para achar essas grandezas a partir do vetor posição.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a velocidade v(t). A velocidade é a derivada do vetor posição em relação ao tempo. Então, vamos derivar cada componente de r(t):
r(t) = -t^2 i + (t-1) j
Vamos derivar em relação a t:
  • A derivada de -t^2 em relação a t é -2t.
  • A derivada de (t - 1) em relação a t é 1.
Então, a velocidade fica:
v(t) = dr(t)dt = -2t i + 1 j
Expressando na forma pedida:
v(t) = (-2t, , 1, , 0)

Passo 3

Agora, vamos encontrar a aceleração a(t). A aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo. Então, vamos derivar cada componente de v(t):
v(t) = -2t i + 1 j
Derivando em relação a t:
  • A derivada de -2t em relação a t é -2.
  • A derivada de 1 em relação a t é 0.
Então, a aceleração fica:
a(t) = dv(t)dt = -2 i + 0 j
Expressando na forma pedida:
a(t) = (-2, , 0, , 0)

Resposta

A velocidade é v(t) = (-2t, , 1, , 0) e a aceleração é a(t) = (-2, , 0, , 0).

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