Determine quais das funções abaixo são autofunções do operador inversão , que é o operador que transforma . Quando for apropriado, determine também o correspondente autovalor de .
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que a gente precisa fazer. A questão é da matéria de operadores lineares em espaços de funções, mais especificamente sobre autofunções e autovalores. O operador aqui é a “inversão” e a gente sabe que, para uma função ser autofunção de , precisa acontecer
onde é o autovalor associado. No nosso caso a função dada é . Então vamos ver passo a passo se ela satisfaz isso e, se sim, qual é .
Passo 2
Aplicando o operador inversão em :
Até aqui, só trocamos por . Agora, pela propriedade de função par (lembra que é par?), temos
Então combinando tudo:
Passo 3
Comparando com a condição de autovalor, a gente vê que
Ou seja, volta igualzinha após a inversão, o que significa que o autovalor é .
Resposta
A função é autofunção do operador inversão com autovalor .