Determine quais das funções abaixo são autofunções do operador inversão i, que é o operador que transforma x -x. Quando for apropriado, determine também o correspondente autovalor de i.
cos k x

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que a gente precisa fazer. A questão é da matéria de operadores lineares em espaços de funções, mais especificamente sobre autofunções e autovalores. O operador aqui é a “inversão” hat i: xmapsto -xe a gente sabe que, para uma função hat i,f(x);=;f(-x);=;lambda,f(x) ser autofunção de , precisa acontecer

onde é o autovalor associado. No nosso caso a função dada é . Então vamos ver passo a passo se ela satisfaz isso e, se sim, qual é .

Passo 2

Aplicando o operador inversão em hat il[cos(kx)r] ;=;cosl(k,(-x)r) ;=;cos(-kx) :
cos(-kx);=;cos(kx)
Até aqui, só trocamos hat il[cos(kx)r] ;=;cos(kx) por . Agora, pela propriedade de função par (lembra que é par?), temos
Então combinando tudo:

Passo 3

Comparando com a condição de autovalor, a gente vê que
hat il[cos(kx)r] ;=;underbrace1lambda;cos(kx)
Ou seja, volta igualzinha após a inversão, o que significa que o autovalor é .

Resposta

A função é autofunção do operador inversão com autovalor .

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