Considere o vetor posição de uma partícula de massa
medido por um observador fixo a um sistema inercial:
a) obtenha o valor do vetor posição desta partícula nos instantes de tempo correspondentes
b) obtenha a velocidade desta partícula
c) obtenha a aceleração desta partícula
d) calcule a força resultante sobre a partícula no instante
.
b) obtenha a velocidade desta partícula
c) obtenha a aceleração desta partícula
d) calcule a força resultante sobre a partícula no instante
Passo 1
Então, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma partícula com massa de 0,5 kg, e sabemos a posição da partícula em função do tempo, dada por:
O conteúdo que vamos utilizar aqui envolve cálculo vetorial, incluindo derivadas para encontrar velocidade e aceleração, além da segunda lei de Newton para determinar a força resultante. Vamos resolver cada parte passo a passo.
Passo 2
a) Encontrar o vetor posição nos instantes de tempo $ t = 0 $ s e $ t = 2 $ s.
Para encontrar o vetor posição nesses instantes, simplesmente substituímos os valores de $ t $ na expressão de $ \vec{r}(t) $.
Quando $ t = 0 $:
Quando $ t = 2 $ s:
Calculando $ e^{-4} \approx 0,0183 $:
Passo 3
b) Encontrar a velocidade da partícula.
A velocidade é a derivada do vetor posição em relação ao tempo. Vamos calcular $ \vec{v}(t) = \frac{d\vec{r}(t)}{dt} $.
Derivando cada componente:
Então, a velocidade é:
Passo 4
c) Encontrar a aceleração da partícula.
A aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo, ou a segunda derivada do vetor posição. Vamos calcular $ \vec{a}(t) = \frac{d\vec{v}(t)}{dt} $.
Derivando cada componente da velocidade:
Então, a aceleração é:
Passo 5
d) Calcular a força resultante sobre a partícula no instante $ t = 4 $ s.
Segundo a segunda lei de Newton, a força resultante é dada por $ \vec{F} = m \vec{a} $, onde $ m $ é a massa e $ \vec{a} $ é a aceleração.
Primeiro, encontramos a aceleração em $ t = 4 $ s:
Calculando $ e^{-8} \approx 0,000335 $:
Agora, aplicando a massa:
Resposta
a) Para $ t = 0 $ s: $ \vec{r}(0) = 0 \hat{\imath} - 4 \hat{\jmath} + 6 \hat{k} $
Para $ t = 2 $ s: $ \vec{r}(2) \approx 20 \hat{\imath} + 16 \hat{\jmath} + 0,1098 \hat{k} $
Para $ t = 2 $ s: $ \vec{r}(2) \approx 20 \hat{\imath} + 16 \hat{\jmath} + 0,1098 \hat{k} $
b) Velocidade: $ \vec{v}(t) = 10 t \hat{\imath} + 10 \hat{\jmath} - 12 e^{-2 t} \hat{k} $
c) Aceleração: $ \vec{a}(t) = 10 \hat{\imath} + 0 \hat{\jmath} + 24 e^{-2 t} \hat{k} $
d) Força resultante em $ t = 4 $ s: $ \vec{F} \approx 5 \hat{\imath} + 0 \hat{\jmath} + 0,00402 \hat{k} , N $