Considere o vetor posição de uma partícula de massa m=0,5 kg medido por um observador fixo a um sistema inercial:
r(t)=5 t^2 imath+(10 t-4) jmath+6 e^-2 t k
a) obtenha o valor do vetor posição desta partícula nos instantes de tempo correspondentes t=0, t=2 s
b) obtenha a velocidade desta partícula
c) obtenha a aceleração desta partícula
d) calcule a força resultante sobre a partícula no instante t=4 s.

Passo 1

Então, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma partícula com massa de 0,5 kg, e sabemos a posição da partícula em função do tempo, dada por:
r(t) = 5 t^2 imath + (10 t - 4) jmath + 6 e^-2 t k
O conteúdo que vamos utilizar aqui envolve cálculo vetorial, incluindo derivadas para encontrar velocidade e aceleração, além da segunda lei de Newton para determinar a força resultante. Vamos resolver cada parte passo a passo.

Passo 2

a) Encontrar o vetor posição nos instantes de tempo $ t = 0 $ s e $ t = 2 $ s.
Para encontrar o vetor posição nesses instantes, simplesmente substituímos os valores de $ t $ na expressão de $ \vec{r}(t) $.
Quando $ t = 0 $:
t = 0
Quando $ t = 2 $ s:
t = 2
Calculando $ e^{-4} \approx 0,0183 $:
t

Passo 3

b) Encontrar a velocidade da partícula.
A velocidade é a derivada do vetor posição em relação ao tempo. Vamos calcular $ \vec{v}(t) = \frac{d\vec{r}(t)}{dt} $.
Derivando cada componente:
v(t) = dr(t)dt
ddt(5 t^2) = 10 t
ddt(10 t - 4) = 10
Então, a velocidade é:
ddt(6 e^-2 t) = -12 e^-2 t

Passo 4

c) Encontrar a aceleração da partícula.
A aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo, ou a segunda derivada do vetor posição. Vamos calcular $ \vec{a}(t) = \frac{d\vec{v}(t)}{dt} $.
Derivando cada componente da velocidade:
a(t) = dv(t)dt
ddt(10 t) = 10
ddt(10) = 0
Então, a aceleração é:
ddt(-12 e^-2 t) = 24 e^-2 t

Passo 5

d) Calcular a força resultante sobre a partícula no instante $ t = 4 $ s.
Segundo a segunda lei de Newton, a força resultante é dada por $ \vec{F} = m \vec{a} $, onde $ m $ é a massa e $ \vec{a} $ é a aceleração.
Primeiro, encontramos a aceleração em $ t = 4 $ s:
t = 4
Calculando $ e^{-8} \approx 0,000335 $:
F = m a
Agora, aplicando a massa:
m

Resposta

a) Para $ t = 0 $ s: $ \vec{r}(0) = 0 \hat{\imath} - 4 \hat{\jmath} + 6 \hat{k} $
Para $ t = 2 $ s: $ \vec{r}(2) \approx 20 \hat{\imath} + 16 \hat{\jmath} + 0,1098 \hat{k} $
b) Velocidade: $ \vec{v}(t) = 10 t \hat{\imath} + 10 \hat{\jmath} - 12 e^{-2 t} \hat{k} $
c) Aceleração: $ \vec{a}(t) = 10 \hat{\imath} + 0 \hat{\jmath} + 24 e^{-2 t} \hat{k} $
d) Força resultante em $ t = 4 $ s: $ \vec{F} \approx 5 \hat{\imath} + 0 \hat{\jmath} + 0,00402 \hat{k} , N $

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