Sobre um corpo de massa m=1 kg atua as forças constantes, expressas em unidade do S.I. por meio do uso de um sistema de coordenadas cartesianos como F1=imath+2 jmath-3 k, F2=jmath-k e F3=-imath+jmath
Lembrando do ensino médio que ( FR=m cdot a 2o lei de Newton)
a) Calcule a força resultante sobre este corpo.
b) Obtenha o módulo da força resultante
c) Calcule o ângulo entre as direções das forças F2 e F3.
d) Qual o vetor aceleração resultante deste corpo? (exemplo acima)
e) Qual o módulo da aceleração resultante?
f) Se no instante inicial ( to=0 ) a velocidade inicial do corpo vale vo=12 jmath- 16 k e sua posição em relação a um ponto fixo, parte da origem das posições, encontre a função resultante das posições do corpo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um problema envolvendo forças que atuam em um corpo de 1 kg. A gente vai usar a segunda lei de Newton, que diz que a força resultante é igual à massa vezes a aceleração ( FR = m cdot a). Precisamos somar as forças dadas, encontrar seus módulos, calcular ângulos entre elas e determinar a posição do corpo ao longo do tempo. Vamos resolver passo a passo!

Passo 2

a) Calcular a força resultante sobre este corpo.
Primeiro, vamos somar todas as forças que estão atuando no corpo. As forças são:
F1 = imath + 2jmath - 3k
F2 = jmath - k
F3 = -imath + jmath
Somando componente a componente:
FR = F1 + F2 + F3
FR = (imath - imath) + (2jmath + jmath + jmath) + (-3k - k)
FR = 0imath + 4jmath - 4k

Passo 3

b) Obter o módulo da força resultante.
Para encontrar o módulo de FR, usamos a fórmula do comprimento do vetor:
|FR| = raiz(0)^2 + (4)^2 + (-4)^2 = raiz0 + 16 + 16 = raiz32 approx 5,66 , N

Passo 4

c) Calcular o ângulo entre as direções das forças F2 e F3.
Usamos a fórmula do produto escalar para encontrar o ângulo:
F2 cdot F3 = |F2||F3| cos(theta)
Primeiro, calculamos o produto escalar:
F2 cdot F3 = (0)(-1) + (1)(1) + (-1)(0) = 1
Agora, os módulos das forças:
|F2| = raiz0^2 + 1^2 + (-1)^2 = raiz2
|F3| = raiz(-1)^2 + 1^2 + 0^2 = raiz2
Então:
1 = (raiz2)(raiz2) cos(theta) implies 1 = 2 cos(theta) implies cos(theta) = 12 implies theta = 60^circ

Passo 5

d) Qual o vetor aceleração resultante deste corpo?
Usando a segunda lei de Newton:
FR = m cdot a implies a = FRm
a = 0imath + 4jmath - 4k1 = 0imath + 4jmath - 4k , m/s^2

Passo 6

e) Qual o módulo da aceleração resultante?
Calculando o módulo de a:
|a| = raiz0^2 + 4^2 + (-4)^2 = raiz0 + 16 + 16 = raiz32 approx 5,66 , m/s^2

Passo 7

f) Encontrar a função resultante das posições do corpo.
Usamos a equação do movimento com aceleração constante:
s(t) = s0 + v0 t + 12 a t^2
Dados:
s0 = 0imath + 0jmath + 0k (ori>=m)
v0 = 0imath + 12jmath - 16k , m/s
a = 0imath + 4jmath - 4k , m/s^2
Substituindo na equação:
s(t) = (0) + (0imath + 12jmath - 16k) t + 12 (0imath + 4jmath - 4k) t^2
s(t) = 0imath + 12tjmath - 16tk + 0imath + 2t^2jmath - 2t^2k
s(t) = (0)imath + (12t + 2t^2)jmath + (-16t - 2t^2)k

Resposta

A função das posições do corpo em função do tempo é:
s(t) = 0,imath + (12t + 2t^2),jmath + (-16t - 2t^2),k metros

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