Salvamento no fundo do mar. Quando o submarino americano Squalus enguiçou a 80 m de profundidade, uma câmara cilíndrica foi usada para resgatar a tripulação. A câmara tinha um raio de 1,00 m e uma altura de
, era aberta no fundo e levava dois operadores. Foi baixada ao longo de um cabo-guia que um mergulhador havia fixado ao submarino. Depois que a câmara completou a descida e foi presa a uma escotilha do submarino, a tripulação pôde passar para a câmara. Durante a descida, os operadores injetaram ar na câmara, a partir de tanques, para que a câmara não fosse inundada. Suponha que a pressão do ar no interior da câmara era igual à pressão da água à profundidade
, dada por
, em que
na superfície e
é a massa específica da água do mar. Suponha uma temperatura constante de
na superfície e uma temperatura da água de
na profundidade em que se encontrava o submarino. Se não tivesse sido injetado ar na câmara, qual seria o volume do ar na câmara à profundidade
?
Passo 1
Beleza, o enunciado diz que temos uma câmara cilíndrica de raio 1,00 m e altura 4,00 m que, sem injetar ar extra, seria levada a 80,0 m de profundidade. A pressão lá embaixo é maior por causa da coluna de água. Queremos saber: se a gente “fechasse” a câmara lá em cima no nível do mar e descesse até 80 m sem injetar mais ar, qual seria o volume desse ar comprimido lá embaixo?
Conteúdo que vamos usar:
Conteúdo que vamos usar:
- Equação dos gases ideais (pV/T = constante, pois a massa de ar é fixa).
- Pressão hidrostática da água (p = p₀ + ρ g h).
- Conversão de temperaturas para Kelvin.
Passo 2
Anotando os dados:
• Raio da câmara: r = 1,00 m
• Altura da câmara: h_cil = 4,00 m
• Profundidade: h = 80,0 m
• Densidade da água do mar: ρ = 1024 kg/m³
• Aceleração da gravidade: g = 9,80 m/s²
• Pressão na superfície: p₀ = 1,000 atm
• Temperatura na superfície: T₁ = 20,0 °C = 293,15 K
• Temperatura na profundidade: T₂ = –3,08 °C = 270,07 K (assumindo que “–308,0 °C” era um erro de digitação e quis dizer –3,08 °C)
• Raio da câmara: r = 1,00 m
• Altura da câmara: h_cil = 4,00 m
• Profundidade: h = 80,0 m
• Densidade da água do mar: ρ = 1024 kg/m³
• Aceleração da gravidade: g = 9,80 m/s²
• Pressão na superfície: p₀ = 1,000 atm
• Temperatura na superfície: T₁ = 20,0 °C = 293,15 K
• Temperatura na profundidade: T₂ = –3,08 °C = 270,07 K (assumindo que “–308,0 °C” era um erro de digitação e quis dizer –3,08 °C)
Teoria aplicada:
- Volume inicial da câmara (V₁) é geométrico, sem compressão.
- Pressão no fundo p₂ = p₀ + ρ g h.
- Gasesideais:
p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂ ⇒ V₂ = (p₁ V₁ T₂)/(p₂ T₁).
Passo 3
Calculando o volume inicial V₁ da câmara:
V₁ = π r² h_cil = π·(1,00 m)²·(4,00 m) = 4π ≃ 12,57 m³
V₁ = π r² h_cil = π·(1,00 m)²·(4,00 m) = 4π ≃ 12,57 m³
Passo 4
Pressão no fundo (em atm):
ρ g h = (1024 kg/m³)(9,80 m/s²)(80,0 m) = 802 816 Pa
Convertendo para atm (1 atm = 1,013×10⁵ Pa):
ρ g h ≃ 802 816 Pa ÷ (1,013×10⁵ Pa/atm) ≃ 7,93 atm
Logo p₂ = p₀ + ρ g h = 1,00 atm + 7,93 atm = 8,93 atm
ρ g h = (1024 kg/m³)(9,80 m/s²)(80,0 m) = 802 816 Pa
Convertendo para atm (1 atm = 1,013×10⁵ Pa):
ρ g h ≃ 802 816 Pa ÷ (1,013×10⁵ Pa/atm) ≃ 7,93 atm
Logo p₂ = p₀ + ρ g h = 1,00 atm + 7,93 atm = 8,93 atm
Passo 5
Já transformamos as temperaturas:
T₁ = 20,0 °C = 293,15 K
T₂ = –3,08 °C = 270,07 K
T₁ = 20,0 °C = 293,15 K
T₂ = –3,08 °C = 270,07 K
Passo 6
Aplicando a equação dos gases ideais para o mesmo número de mols:
V₂ = (p₁ · V₁ · T₂) / (p₂ · T₁)
= (1,00 atm · 12,57 m³ · 270,07 K) / (8,93 atm · 293,15 K)
≃ (12,57 · 270,07) / (8,93 · 293,15) m³
≃ 3394,5 / 2617,4 m³
≃ 1,30 m³
V₂ = (p₁ · V₁ · T₂) / (p₂ · T₁)
= (1,00 atm · 12,57 m³ · 270,07 K) / (8,93 atm · 293,15 K)
≃ (12,57 · 270,07) / (8,93 · 293,15) m³
≃ 3394,5 / 2617,4 m³
≃ 1,30 m³
Resposta
O volume do ar na câmara, se não fosse injetado ar extra ao descer até 80 m, seria de aproximadamente