Considere o vetor de separação
sendo a distância de um ponto fixo (
',
) até o ponto (
), mostre que:
Passo 1
O enunciado pede para mostrarmos que, em sentido de distribuições, a Laplaciana de
satisfaz
onde
e
. Vamos usar cálculo direto para
e, em seguida, a definição de distribuição por meio de integração contra uma função de teste, aplicando o Teorema da Divergência.
Passo 2
Para
, em coordenadas esféricas
temos
dependente só de
. A Laplaciana em simetria esférica é
Se
, então
e daí
Passo 3
A singularidade em
impede o uso direto da fórmula acima ali. Para capturar o comportamento no ponto, interpretamos
como distribuição. Isso significa testar contra uma função suave de suporte compacto
e mostrar que
Passo 4
Aplicamos o Teorema da Divergência num volume
que contenha a origem, com fronteira
:
Como
fora da origem, podemos escolher
como a bola de raio
e estender
. No limite a segunda integral tende a zero (o gradiente de
e
são menos singulares), de modo que o termo de superfície domina.
Passo 5
Calculamos
e o fluxo sobre a esfera de raio
:
e
Passo 6
Portanto, para qualquer função teste
temos
o que é a definição de
. Concluímos que, em sentido de distribuições,