Considere o vetor de separação vec{r} sendo a distância de um ponto fixo ( x ', y^{\prime}, z^{\prime} ) até o ponto ( x, y, z ), mostre que:
nabla^{2}\left(\frac{1}{r}\right)=-4 \pi \delta^{3}(\vec{r})

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos que, em sentido de distribuições, a Laplaciana de \tfrac{1}{r} satisfaz
\nabla^{2}\!\Bigl(\frac{1}{r}\Bigr) \;=\;-4\pi\,\delta^{3}(\vec r)
onde \vec r=(x,y,z) e r=|\vec r|=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}. Vamos usar cálculo direto para r\neq0 e, em seguida, a definição de distribuição por meio de integração contra uma função de teste, aplicando o Teorema da Divergência.

Passo 2

Para r\neq0, em coordenadas esféricas (r,\theta,\varphi) temos \tfrac{1}{r} dependente só de r. A Laplaciana em simetria esférica é
\nabla^{2}\!f(r) =\frac{1}{r^{2}}\frac{\partial}{\partial r}\!\Bigl(r^{2}\,\frac{\partial f}{\partial r}\Bigr).
Se f(r)=\tfrac{1}{r}, então
\frac{\partial f}{\partial r} = -\frac{1}{r^{2}}, \qquad r^{2}\frac{\partial f}{\partial r} = -1,
e daí
\nabla^{2}\!\Bigl(\frac{1}{r}\Bigr) =\frac{1}{r^{2}}\frac{\partial}{\partial r}(-1) =0 \quad\text{para }r\neq0.

Passo 3

A singularidade em r=0 impede o uso direto da fórmula acima ali. Para capturar o comportamento no ponto, interpretamos \nabla^{2}(1/r) como distribuição. Isso significa testar contra uma função suave de suporte compacto \varphi(\vec r) e mostrar que
\int_{\mathbb{R}^{3}} \nabla^{2}\!\Bigl(\frac{1}{r}\Bigr)\,\varphi(\vec r)\,d^{3}r \;=\;-4\pi\,\varphi(\vec 0).

Passo 4

Aplicamos o Teorema da Divergência num volume V que contenha a origem, com fronteira \partial V:
\int_{V} \nabla^{2}\!\Bigl(\frac{1}{r}\Bigr)\,\varphi\,d^{3}r = \oint_{\partial V} \varphi\,\nabla\!\Bigl(\frac{1}{r}\Bigr)\!\cdot d\vec S \;-\; \int_{V} \nabla\varphi\;\cdot\;\nabla\!\Bigl(\frac{1}{r}\Bigr)\,d^{3}r.
Como \nabla^{2}(1/r)=0 fora da origem, podemos escolher V como a bola de raio a e estender a\to0. No limite a segunda integral tende a zero (o gradiente de \varphi e \nabla(1/r) são menos singulares), de modo que o termo de superfície domina.

Passo 5

Calculamos \nabla(1/r) e o fluxo sobre a esfera de raio a:
\nabla\!\Bigl(\frac{1}{r}\Bigr) =-\frac{\vec r}{r^{3}} =-\frac{\hat r}{r^{2}},
e
\oint_{|\vec r|=a} \varphi(\vec r)\,\nabla\!\Bigl(\frac{1}{r}\Bigr)\!\cdot d\vec S \approx \varphi(\vec 0)\, \oint_{|\vec r|=a} \Bigl(-\frac{\hat r}{a^{2}}\Bigr)\!\cdot(\hat r\,a^{2}d\Omega) =-\varphi(\vec 0)\, \oint d\Omega =-4\pi\,\varphi(\vec 0).

Passo 6

Portanto, para qualquer função teste \varphi temos
\int \nabla^{2}\!\Bigl(\frac{1}{r}\Bigr)\,\varphi\,d^{3}r =-4\pi\,\varphi(\vec 0),
o que é a definição de -4\pi\,\delta^{3}(\vec r). Concluímos que, em sentido de distribuições,
\nabla^{2}\!\Bigl(\frac{1}{r}\Bigr) =-4\pi\,\delta^{3}(\vec r).

Resposta

\displaystyle \nabla^{2}\!\Bigl(\tfrac{1}{r}\Bigr) = -4\pi\,\delta^{3}(\vec r)

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