Use as propriedades da Função Delta Dirac e calcule:
\begin{gathered} \int_{-3}^{4} 8 y^{2} \ln (y+4) \delta(y-3) d y \\ \int_{0}^{5} e^{3 x} \delta(x+2) d x \\ \int_{-1}^{1} 24 z e^{z} \delta(12 z-6) d z \end{gathered}

Passo 1

O enunciado pede para calcular três integrais que envolvem a função delta de Dirac. O principal que vamos usar é a propriedade de amostragem
\int f(x)\,\delta(x - a)\,dx = f(a)
sempre que a estiver dentro do intervalo de integração, e a regra de escala
\delta(c\,x + d) = \frac{1}{\lvert c\rvert}\,\delta\Bigl(x + \tfrac{d}{c}\Bigr).

Passo 2

Para
\int_{-3}^{4} 8\,y^{2}\,\ln(y+4)\,\delta(y - 3)\,dy
o ponto de amostragem é y=3, que está em [-3,4]. Basta avaliar o integrando em y=3:
8\cdot3^{2}\cdot\ln(3+4)=8\cdot9\cdot\ln7=72\,\ln7.

Passo 3

Para
\int_{0}^{5} e^{3x}\,\delta(x + 2)\,dx
o delta “dispara” em x=-2, mas -2 não pertence a [0,5]. Logo, a integral vale zero.

Passo 4

Na integral
\int_{-1}^{1} 24\,z\,e^{z}\,\delta(12\,z - 6)\,dz
escrevemos
\delta(12z - 6)=\frac{1}{12}\,\delta\Bigl(z-\tfrac12\Bigr).
Então a integral vira
\int_{-1}^{1}24\,z\,e^{z}\,\frac{1}{12}\,\delta\Bigl(z-\tfrac12\Bigr)\,dz =2\int_{-1}^{1}z\,e^{z}\,\delta\Bigl(z-\tfrac12\Bigr)\,dz =2\bigl(\tfrac12\,e^{1/2}\bigr) =e^{1/2}.

Resposta

\int_{-3}^{4}8y^{2}\ln(y+4)\,\delta(y-3)\,dy=72\,\ln7\n
\int_{0}^{5}e^{3x}\,\delta(x+2)\,dx=0\n
\int_{-1}^{1}24\,z\,e^{z}\,\delta(12z-6)\,dz=e^{1/2}

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