São dadas as seguintes funções escalares e campos vetoriais.
Determine o gradiente das funções escalares. No caso dos campos vetoriais, proceda o cálculo do divergente e rotacional
\vec{F}(x, y, z)=y z \hat{x}+x z \hat{y}+y x \hat{z}

Passo 1

O enunciado dá o campo vetorial
\vec{F}(x,y,z)=yz\,\hat{x}+xz\,\hat{y}+xy\,\hat{z}
e pede (1) o divergente, que é \nabla\cdot\vec{F}, e (2) o rotacional, que é \nabla\times\vec{F}. Para isso usamos as definições em coordenadas cartesianas:
\nabla\cdot\vec{F} =\frac{\partial F_x}{\partial x}+\frac{\partial F_y}{\partial y}+\frac{\partial F_z}{\partial z},
\nabla\times\vec{F} =\begin{vmatrix} \hat{x} & \hat{y} & \hat{z}\\\ \partial/\partial x & \partial/\partial y & \partial/\partial z\\\ F_x & F_y & F_z \end{vmatrix}.

Passo 2

Calculando o divergente:
\frac{\partial F_x}{\partial x} =\frac{\partial (yz)}{\partial x}=0, \quad \frac{\partial F_y}{\partial y} =\frac{\partial (xz)}{\partial y}=0, \quad \frac{\partial F_z}{\partial z} =\frac{\partial (xy)}{\partial z}=0.
Somando,
\nabla\cdot\vec{F}=0+0+0=0.

Passo 3

Calculando o rotacional pelo determinante:
\nabla\times\vec{F} =\bigl(\tfrac{\partial F_z}{\partial y}-\tfrac{\partial F_y}{\partial z}\bigr)\hat{x} +\bigl(\tfrac{\partial F_x}{\partial z}-\tfrac{\partial F_z}{\partial x}\bigr)\hat{y} +\bigl(\tfrac{\partial F_y}{\partial x}-\tfrac{\partial F_x}{\partial y}\bigr)\hat{z}.
Cada termo é
\tfrac{\partial F_z}{\partial y} =\tfrac{\partial (xy)}{\partial y}=x, \quad \tfrac{\partial F_y}{\partial z} =\tfrac{\partial (xz)}{\partial z}=x,
\tfrac{\partial F_x}{\partial z} =\tfrac{\partial (yz)}{\partial z}=y, \quad \tfrac{\partial F_z}{\partial x} =\tfrac{\partial (xy)}{\partial x}=y,
\tfrac{\partial F_y}{\partial x} =\tfrac{\partial (xz)}{\partial x}=z, \quad \tfrac{\partial F_x}{\partial y} =\tfrac{\partial (yz)}{\partial y}=z.
Logo,
\nabla\times\vec{F} =(x-x)\,\hat{x}+(y-y)\,\hat{y}+(z-z)\,\hat{z} =\vec{0}.

Resposta

\nabla\cdot\vec{F}=0
\nabla\times\vec{F}=\vec{0}

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