Considere o vetor unitário
e a função
Determine as derivadas parciais
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício que temos envolve encontrar as derivadas parciais da função $ f $ no ponto
. A função é definida de duas formas diferentes dependendo de onde estamos no plano:
Vamos usar conhecimentos de cálculo, especificamente sobre derivadas parciais, para resolver isso. Precisamos calcular
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma derivada parcial. A derivada parcial de
em relação a
no ponto
mede como
muda quando movemos um pouquinho só na direção
, mantendo
fixo. Matematicamente, isso é dado por:
E similarmente para $ \frac{\partial f}{\partial y}(0,0) $:
Vamos calcular cada um desses limites passo a passo.
Passo 3
Vamos começar calculando $ \frac{\partial f}{\partial x}(0,0) $. Substituindo na fórmula:
Sabemos que $ f(0,0) = 0 $ (pela definição da função). Agora, vamos calcular $ f(h, 0) $:
Então, substituindo de volta na expressão da derivada:
Passo 4
Agora, vamos calcular $ \frac{\partial f}{\partial y}(0,0) $. Usando a fórmula:
Sabemos que $ f(0,0) = 0 $. Vamos calcular $ f(0, k) $:
Substituindo na expressão da derivada:
Resposta
As derivadas parciais no ponto
são: