Considere o vetor unitário u=(raiz32, 12) e a função
f(x, y)=ll x y^2x^2+y^4, & se (x, y) neq(0,0) 0, & se (x, y)=(0,0)
Determine as derivadas parciais partial fpartial x(0,0) e partial fpartial y(0,0).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício que temos envolve encontrar as derivadas parciais da função $ f $ no ponto f . A função é definida de duas formas diferentes dependendo de onde estamos no plano:
(0,0)
Vamos usar conhecimentos de cálculo, especificamente sobre derivadas parciais, para resolver isso. Precisamos calcular f(x, y)= x y^2x^2+y^4, & se (x, y) neq(0,0) 0, & se (x, y)=(0,0) e partial fpartial x(0,0).

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma derivada parcial. A derivada parcial de f em relação a x no ponto (0,0) mede como f muda quando movemos um pouquinho só na direção x, mantendo y fixo. Matematicamente, isso é dado por:
partial fpartial x(0,0) = limh to 0 f(h, 0) - f(0,0)h
E similarmente para $ \frac{\partial f}{\partial y}(0,0) $:
partial fpartial y(0,0)
Vamos calcular cada um desses limites passo a passo.

Passo 3

Vamos começar calculando $ \frac{\partial f}{\partial x}(0,0) $. Substituindo na fórmula:
partial fpartial x(0,0)
Sabemos que $ f(0,0) = 0 $ (pela definição da função). Agora, vamos calcular $ f(h, 0) $:
partial fpartial x(0,0) = limh to 0 f(h, 0) - f(0,0)h
Então, substituindo de volta na expressão da derivada:
f(0,0) = 0

Passo 4

Agora, vamos calcular $ \frac{\partial f}{\partial y}(0,0) $. Usando a fórmula:
partial fpartial y(0,0)
Sabemos que $ f(0,0) = 0 $. Vamos calcular $ f(0, k) $:
partial fpartial y(0,0) = limk to 0 f(0, k) - f(0,0)k
Substituindo na expressão da derivada:
f(0,0) = 0

Resposta

As derivadas parciais no ponto (0,0) são:
partial fpartial x(0,0) = 0 e partial fpartial y(0,0) = 0

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