f(x, y)=ll x^2x+y, & se (x, y) neq(0,0) 0 & se (x, y)=(0,0)
Determine a derivada direcional Du f(0,0).

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me passou um exercício sobre derivadas direcionais. O que a gente precisa fazer é encontrar a derivada direcional da função $ f(x, y) $ no ponto f(x, y) na direção de um vetor unitário $ \mathbf{u} $. Para resolver isso, vamos usar conceitos de limites e derivadas parciais. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma derivada direcional. Essencialmente, ela mede a taxa de variação da função na direção de um vetor específico. A fórmula para a derivada direcional de $ f $ no ponto f na direção de $ \mathbf{u} = (u_1, u_2) $ é:
(a,b)
Nesse caso, nosso ponto é u = (u1, u2) , então a fórmula fica:
Du f(a,b) = limh to 0 f(a + h u1, b + h u2) - f(a, b)h

Passo 3

Agora, vamos substituir na função $ f(x, y) $. Para f(x, y) , temos:
(x,y) neq (0,0)
E $ f(0,0) = 0 $. Então, substituindo $ x = h u_1 $ e $ y = h u_2 $:
f(x, y) = x^2x + y

Passo 4

Agora, vamos substituir isso na fórmula da derivada direcional:
Du f(0,0) = limh to 0 h u1^2u1 + u2 - 0h = limh to 0 h u1^2h(u1 + u2) = limh to 0 u1^2u1 + u2

Passo 5

Aqui, percebemos que o $ h $ cancela, e o limite não depende mais de $ h $. Portanto:
h

Resposta

A derivada direcional de $ f $ no ponto f na direção de $ \mathbf{u} $ é:
(0,0)

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