Determine a derivada direcional
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me passou um exercício sobre derivadas direcionais. O que a gente precisa fazer é encontrar a derivada direcional da função $ f(x, y) $ no ponto
na direção de um vetor unitário $ \mathbf{u} $. Para resolver isso, vamos usar conceitos de limites e derivadas parciais. Vamos passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma derivada direcional. Essencialmente, ela mede a taxa de variação da função na direção de um vetor específico. A fórmula para a derivada direcional de $ f $ no ponto
na direção de $ \mathbf{u} = (u_1, u_2) $ é:
Nesse caso, nosso ponto é
, então a fórmula fica:
Passo 3
Agora, vamos substituir na função $ f(x, y) $. Para
, temos:
E $ f(0,0) = 0 $. Então, substituindo $ x = h u_1 $ e $ y = h u_2 $:
Passo 4
Agora, vamos substituir isso na fórmula da derivada direcional:
Passo 5
Aqui, percebemos que o $ h $ cancela, e o limite não depende mais de $ h $. Portanto:
Resposta
A derivada direcional de $ f $ no ponto
na direção de $ \mathbf{u} $ é: