Utilize coordenadas cilíndricas.
Calcule integral triplaE x d V, onde E é limitado pelo paraboloide z=x^2+y^2 e o plano z=4.

Passo 1

Neste exercício, a gente quer calcular a integral tripla integral triplaE x,dV, onde a região E é delimitada por z = x^2 + y^2 (paraboloide) e o plano z = 4. O conteúdo aqui é integração em coordenadas cilíndricas e vamos precisar transformar x,y,z e o elemento de volume.

Passo 2

Em coordenadas cilíndricas, as transformações são
x = rcostheta, y = rsintheta, z = z, dV = r,dz,dr,dtheta
Além disso, o paraboloide z = x^2 + y^2 vira z = r^2 e o plano continua z = 4.

Passo 3

Os limites da região em coordenadas cilíndricas ficam:
0 <= theta <= 2pi, 0 <= r <= 2, r^2 <= z <= 4
Note que o valor máximo de r vem de impor r^2 = 4, então r=2.

Passo 4

Agora montamos a integral trocando x e dV:
integral triplaE x,dV = integral0^2piintegral0^2integralr^2^4 (rcostheta);r;dz,dr,dtheta

Passo 5

A primeira integração em z é simples, pois não há z no resto do integrando além do diferencial. Temos
integralr^2^4 dz = 4 - r^2,
logo a integral vira
integral0^2piintegral0^2 r^2costheta,(4 - r^2),dr,dtheta

Passo 6

Repare que podemos separar a parte angular e a radial:
l(integral0^2picostheta,dthetar)timesl(integral0^2 r^2(4 - r^2),drr)
Mas integral0^2picostheta,dtheta = 0, porque seno e cosseno dão volta completa.

Passo 7

Como a parte angular é zero, toda a integral anula. Isso também faz sentido por simetria: a região E é simétrica em relação ao plano yz e x é ímpar.

Passo 8

Dessa forma chegamos ao valor da integral.

Resposta

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