Utilize coordenadas cilíndricas.
Calcule
, onde
é limitado pelo paraboloide
e o plano
.
Calcule
Passo 1
Neste exercício, a gente quer calcular a integral tripla
, onde a região
é delimitada por
(paraboloide) e o plano
. O conteúdo aqui é integração em coordenadas cilíndricas e vamos precisar transformar
e o elemento de volume.
Passo 2
Em coordenadas cilíndricas, as transformações são
Além disso, o paraboloide
vira
e o plano continua
.
Passo 3
Os limites da região em coordenadas cilíndricas ficam:
Note que o valor máximo de
vem de impor
, então
.
Passo 4
Agora montamos a integral trocando
e
:
Passo 5
A primeira integração em
é simples, pois não há
no resto do integrando além do diferencial. Temos
logo a integral vira
Passo 6
Repare que podemos separar a parte angular e a radial:
Mas
, porque seno e cosseno dão volta completa.
Passo 7
Como a parte angular é zero, toda a integral anula. Isso também faz sentido por simetria: a região
é simétrica em relação ao plano
e
é ímpar.
Passo 8
Dessa forma chegamos ao valor da integral.
Resposta
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